Question

VETORES Resolva a equação
(i x X) x i+(X x j)x j + (X x k) x K = 0.​

Answer 1

Como essa equação envolve vários produtos vetoriais, o seguinte resultado será útil: Dados vetores u,v e w vale a identidade:

(u x v) x w = (w·u)v - (w·v)u

onde x denota o produto vetorial e · denota o produto escalar. Além disso,

{i, j, k} é a base canônica.

Aplicando ao problema temos:

(i x X) x i = (i·i)X - (i·X)i = X - (i·X)i

(j x X) x j = (j·j)X - (j·X)j = X - (j·X)j

(k x X) x k = (k·k)X - (k·X)k = X - (k·X)k

Escrevendo X  = ai + bj + ck temos

i·X = a

j·X = b

k·X = c

Substituindo essas informações na equação temos:

[ (i x X) x i ] + [ (j x X) x j  ] + [ (k x X) x k ] = 0

[ X - ai ] + [ X - bj ] + [ X - ck ] = 0

3X =  ai + bj + ck  = X

X = 0

Resposta:

A única solução é X = 0.

Obs.:

Você também pode substituir na equação e efetuar o produto vetorial lembrando da linearidade e que

i x j = k

j x k = i

k x i = j

i x i = j x j = k x k = 0

Dá um pouco mais de trabalho, mas em troca não é necessário memorizar a identidade do produto vetorial triplo.