Question

proximo a uma ilha a profundidade do mar com coordenadas (x,y) é dada por f(x,y)= 2x²y+y³+2xy marcos que esta em sua lancha parte do ponto (10,10) em direção a um barco que esta localizado no ponto P(2;-2). A agua so a lancha esta ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover. determine a taxa de variação da profundidade no ponto (10;10) na direção do barco.

Answer 1

$\bmatrix f(x,y)=2x^2y+y^3+2xy\\\\M=(10,10)\\\\P=(2,-2)\end$

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marcos vai sair do ponto M e ir para o ponto P o vetor nessa direção

$\vec{MP}= P-M = (-8) \vec i + (-12)\vec j\\\\\ \text{e o modulo desse vetor eh}\\\\||\vec{MP}||= \sqrt{(-8)^2+(-12)^2}=\sqrt{208}$

calculando o vetor gradiente

$\Bmatrix{\frac{\partial f}{\partial x} =4xy+2y\\\\ \frac{\partial f}{\partial y} =2x^2+3y^2+2x\\\\\boxed{\boxed{\nabla f(x,y)= (4xy+2y)\vec i + (2x^2+3y^2+2x)\vec j}}\end$


o vetor gradiente no ponto onde marcos está

$\nabla f(M)=\\\\=\nabla f(10;10)= (4*10*10+2*10)\vec i + (2*10^2+3*10^2+2*10)\vec j\\\\=\nabla f(10;10)=420\vec i + 520\vec j$

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fazendo a derivada direcional
$D_uf(M) = \nabla f(M)* \frac{\vec u}{||\vec u||} \\\\D_uf(M) = (420\vec i + 520 \vec j )* \frac{(-8)\vec i +(-12)\vec j}{\sqr{208}} \\\\\\D_uf(M) = \frac{420*(-8)+520*(-12)}{\sqrt{208}} \\\\\\D_uf(M) = \frac{-9600}{\sqrt{208}} = -665,64$

como o resultado é negativo a água está ficando mais rasa

a taxa de variação no ponto M é 

$||\nabla f(M)||= \sqrt{420^2+520^2}= 648,43$