Fundamentos de Cálculo Aplicado
Considere que a armazenagem das laranjas é feita em câmaras frigoríficas onde são
depositadas em caixas de madeira (bin) sobrepostas e que comportam até 380 kg de fruta (corresponde a 2500 frutas aproximadamente). Quando alguma fruta está contaminada com
cancro cítrico, a doença se propaga rapidamente contaminando as outras frutas de tal forma
que, em 10 dias, metade das laranjas da caixa estão contaminada. Neste caso, o
questionamento se refere ao processo de comprometimento de um estoque de laranjas
sujeito à contaminação das mesmas.
Considere as seguintes variáveis: P = P(t) é a população contaminada (número de frutas
doentes); L = população total em um bin = 2500 laranjas; t = tempo de propagação (em dias).
Suponha que em 0 dias, P(0) = 1, ou seja, uma laranja está contaminada, e em 12 dias,
P(12) = 0,85 L (aproximadamente), ou seja, em 12 dias 80% das laranjas estão
Respostas
A porcentagem de laranjas doentes será de 89,7%.
Faltaram alguns dados no enunciado:
"Suponha que em 0 dias, P(0) = 1, ou seja, uma laranja está contaminada, e em 12 dias, P(12) = 0,85 L (aproximadamente), ou seja, em 12 dias 80% das laranjas estão doentes. Suponha também que “a velocidade de propagação da doença é proporcional à proximidade entre uma laranja contaminada e uma sadia”. A velocidade de propagação pode ser entendida como o aumento (em relação ao tempo) da quantidade de laranjas contaminadas, ou seja, dP/dt. A partir dessas hipóteses, o problema pode ser modelado matematicamente através de uma equação diferencial (que envolve derivadas) ordinária: onde k é a taxa de contaminação, considerada constante para o cancro cítrico. O problema acima possui a seguinte solução aproximada (ver Bassanezi, 2011):
Após 13 dias, qual a porcentagem de laranjas doentes?"
Para estimar a quantidade de laranjas com cancro cítrico após 13 dias devemos entender as equações fornecidas. A equação dP/dt determina a velocidade de propagação, já P(0) é uma condição de contorno para a população no tempo inicial.
A equação P(t) mostra a evolução de laranjas doentes em função do tempo, que é a variável que queremos estudar. Dessa forma vamos aplicar o valor de t = 13 dias na equação:
P(13) = 2500 / (2500*e^(-0,768*13)+1)
P(13) = 2241.488 contaminações
Logo, considerando a população inicial de 2500 laranjas o percentual de laranjas doentes, P(13), será de:
%P(13) = 2241.488/2500 = 0,897 = 89,7%
Espero ter ajudado!
