Question

Calcule $\lim_{x \to \ \pi } \frac{1-sen\frac{x}{2} }{\pi - x}$
$\lim_{x \to \ \pi/2 } \frac{1 - senx^{6}x }{cosx^{2}x }$
$\lim_{x \to \ \pi/2 } \frac{(1-senx)^{2} }{cosx}$

Answer 1

Nesses limites usaremos combinações dos limites fundamentais

( I ) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{x \to 0}\, \dfrac{ 1- \cos x}{ x^2} = \dfrac 12$

e de algumas fatorações, como

( II ) a³-b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

além das identidades trigonométricas

( III.a ) sen²x + cos²x =1

( III.b ) sen(π/2 - x) = cos(x)   e    cos(π/2 - x) = sen(x)

Questão 1:

$L = \displaystyle \lim_{x \to \pi} \, \dfrac{1- \sin \frac x2}{ \pi - x}$

Começamos fazendo a mudança de variável y = π - x. Logo:

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac { 1- \sin ( \frac \pi 2 - \frac y2)}{y}$

Agora é só lembrar da identidade ( III.b ) e reorganizar apropriadamente para usar ( I ):

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac { 1- \cos \frac y2}{y} = \lim_{y \to 0} \, \dfrac { 1 - \cos \frac y2}{\frac{y^2}4} \cdot \frac y4 = \lim_{y \to 0} \, \dfrac{1 - \cos \frac y2}{(\frac y2)^2} \cdot \lim_{y \to 0}\, \frac y4 = 0$

Portanto, L = 0.

Questão 2:

$L = \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi2} \, \dfrac {1 - \sin^6 x}{ \cos^2x }$

Nessa questão não será necessário usar o limite fundamental. Ela é na verdade uma questão de quociente de polinômios mascarada com trigonometria. Usando ( II ) no numerador temos:

1 - sen⁶x = (1 - sen²x) (1 + sen²x + sen⁴x)

Por ( III.a ) obtemos:

1 - sen⁶x = cos²x (1 + sen²x + sen⁴x)

Portanto:

$L = \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi 2} \, \dfrac { \cos^2 x ( 1 + \sin^2 x + \sin^4 x)}{ \cos^2 x} = \lim_{ x\to \frac \pi2} \, 1 + \sin^2 x+ \sin^4 x \implies \boxed{L =3}$

Assim o limite é 3.

Obs. 1:  Se usarmos a mudança y = sen(x) o limite torna-se (1 - y⁶) / (1 - y²), por isso no fundo é uma questão de polinômios.

Obs. 2: A fatoração completa de 1 - y⁶ é (1-y)(1+y)(1-y+y²)(1+y+y²) que resultaria em

1 - sen⁶x = (1 - sen x)(1 + sen x) (1 - sen x + sen²x)(1 + sen x + sen²x)

Porém como havia o cos²x no denominador, preferi agrupar o

(1 - sen x)(1 + sen x) = (1 - sen²x).

Questão 3:

$L = \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi 2}\, \dfrac {(1-\sin x)^2}{\cos x}$

Nesse vamos começar usando a substituição y = π/2 - x. Por ( III.b ) os senos e cossenos serão trocados:

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, \dfrac {(1 - \sin ( \frac \pi 2 - y))^2}{ \cos ( \frac \pi 2 - y)} = \lim_{y \to 0} \, \dfrac{1- \cos y)^2}{ \sin y}$

Agora basta reorganizarmos os termos de forma a usar ( I ) e concluir o problema:

$\displaystyle L = \lim_{ y \to 0} \, \dfrac {(1 - \cos y)^2}{y^4} \cdot \dfrac y{\sin y} \cdot y^3 \implies \boxed{L= 0}$

Portanto, o limite é 0.

Outra maneira:

Não é tão conhecido, mas vale a seguinte identidade para a tangente:

$\tan \dfrac{x}{2} = \dfrac{1- \cos x}{\sin x} \implies \dfrac {1 - \sin x}{ \cos x} = \tan\left( \dfrac \pi 4 - \dfrac x 2}\right)$

Logo:

$L = \displaystyle \lim_{x \to \frac \pi 2} \, \tan \left( \dfrac \pi 4 - \dfrac x 2 \right) ( 1 - \sin x) = 0$

Respostas:

1. 0

2. 3

3. 0

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