• Matéria: Matemática
  • Autor: PRicardo20
  • Perguntado 6 anos atrás

Calcule x, y, z e t no triângulo retângulo da imagem abaixo.

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Respostas

respondido por: marcos4829
4

Olá, boa noite ◉‿◉.

Assunto: Relações métricas no triângulo retângulo.

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

•A letra a é a medida da hipotenusa;

•As letras b e c são as medidas dos catetos;

•A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

•A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

•A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

Temos 5 relações métricas, listarei todas e farei uma breve explicação sobre cada uma.

I) Primeira relação:

Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos.

 \large\boxed{ \begin{cases}a {}^{2}  = b {}^{2}  - c {}^{2}  \end{cases}}

II) Segunda relação:

•A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa.

 \large \boxed{ \begin{cases} a = m + n\end{cases}}

III) Terceira relação:

•O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos.

 \boxed{\begin{cases}  \large h {}^{2}  = m.n\end{cases}}

IV) Quarta relação:

• É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas

  \large \boxed{\begin{cases} c {}^{2} = a.m \\ b {}^{2} = a.n  \end{cases}}

V) Quinta relação:

•O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

 \large \boxed{ \begin{cases} a.h = b.c\end{cases}}

• Cálculos:

Sabendo todas as relações e seu significado, então vamos começar os cálculos.

A questão nos fornece o valor da Hipotenusa (a = 17) e a medida do cateto "c" (c = 15). Com esses dados podemos usar a primeira relação e descobrir o outro cateto "b" que está representado por "x" na questão.

a {}^{2}  = b {}^{2}   + c {}^{2}  \\ 17 {}^{2}  = b {}^{2}  + 15 {}^{2}  \\ 289 = b {}^{2}   +  225 \\ 289 - 225 = b {}^{2}  \\ b {}^{2}  = 64 \\ b =  \sqrt{64}  \\  \Large\boxed{\boxed{b = 8 \:  \:  \: ou \:  \:  \: x = 8}}

Sabendo do valor do cateto "b", abre um leque de possibilidades de cálculos.

Podemos usar a medida da Hipotenusa e dos dois Catetos para achar a altura (h) que está representada pela letra "y".

a.h = b.c \\ 17.h = 8.15 \\ 17h = 120 \\  \Large\boxed{\boxed{h =  \frac{120}{17}  \:  \: ou \:  \: y =  \frac{120}{17}}}

Agora vamos usar a quarta relação para achar o valor de m e n, que estão representados por t e z.

c {}^{2}  = a.m \\ 15 {}^{2}  = 17.m \\ 225 = 17m \\  \Large\boxed{\boxed{m =  \frac{225}{17}   \: \: ou \:  \: t =  \frac{225}{17} }} \\  \\  \\ b {}^{2}  = a .n \\ 8 {}^{2}  = 17.n \\ 64 = 17n \\  \Large\boxed{\boxed{n =  \frac{64}{17} \:  \: ou \:  \: z =  \frac{64}{17}}  }

Chegamos ao fim (◕ᴗ◕✿).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

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