Question

Há uma folha retangular de papelão com 20 cm de largura por 30 cm de comprimento (20 x 30 cm). Desta folha são
retirados quadrados de lado “x” de cada cantoneira; propiciando a confecção de uma caixa, conforme o esquema.
O gerente conseguiu determinar os dois possíveis valores de “x”, para que o volume da caixa confeccionada seja
de 600 cm³.
Encontre esses valores mostrando os passos que se pede a seguir com o máximo de detalhes nas passagens
algébricas, nos gráficos e nas tabelas.
a) Obtenha a função A(x) da área da caixa;
b) Obtenha a função V(x) do volume da caixa;
c) os intervalos das raízes alfa 1 e alfa 2 da função f(x) obtida quando V(x) = 600 cm³;
d) Faça o gráfico da função f(x);
e) Utilizando o Método de Newton-Raphson encontre os valores aproximados das raízes

Answer 1

Vamos aplicar os conceitos de Geometria Plana e Funções para responder todas as alternativas a seguir:

a) A área total da caixa pode ser dada pela área total (20x30cm) do pedaço de papelão menos a área dos quatro cantos que foram recortados (de dimensões x por x cm). Matematicamente, temos:

A(x) = 20*30 - x² = 600 - x²

b) O Volume da caixa pode ser encontrado multiplicando a área da base pela altura. Pela segunda imagem vemos que a área da base é:

Ab = (20 - 2x)*(30 - 2x) = 600 - 40x - 60x + 4x² = (600 - 100x + 4x²)

E a altura, pela primeira figura, vale x. Logo, teremos:

V(x) = x*Ab = 4x³ - 100x² + 600x

c) Pelo gráfico podemos ver que as raízes de V(x) = 600, ou seja, 4x³ - 100x³ + 600x - 600 = 0, estão entre x = 1 e x = 17.

d) Anexei o gráfico de V(x) no final desta resolução.

e) Temos V(x) = 4x³ - 100x² + 600x - 600 e V'(x) = 12x² - 200x + 600. Tomando o ponto de partida como x = 2, teremos:

$x_0 = 2\\\\x_1 = x_0 - V(x_0)/V'(x_0) = 2 - V(2)/V'(2) = 2 - (32 - 400 + 1200 - 600)/(48 - 400 + 600) = 2 - 232/248 = 1,0645\\\\x_2 = 1,0645 - V(1,0645)/V'(1,0645) = 1,0645 - (4,825 - 113,3160 + 638,7 - 600)/(13,5979 - 212,9 + 600) = 1,0645 + 0,1742 = 1,2387\\\\x_3 = 1,2387 - V(1,2387)/V'(1,2387) = 1,2387 - (7,6025 - 153,4378 + 743,22 - 600)/(18,4125 - 247,74 + 600) = 1,2387 + 0,0071 = 1,2458$

Para x = 8:

$x_0 = 8\\\\x_1 = 8 - (2048 - 6400 + 4800 - 600)/(768 - 1600 + 600) = 8 - 0,6552 = 7,3448\\\\x_2 = 7,3448 - (1584,8929 - 5394,6087 + 4406,88 - 600)/(647,3531 - 1468,96 + 600) = 7,3448 - 0,0128 = 7,332\\\\x_3 = 7,332 - (1576,6212 - 5375,8224 + 4399,2 - 600)/(645,0987 - 1466,4 + 600) = 7,332 - 0,0014 = 7,3306$

E para x = 17:

$x_0 = 17\\\\x_1 = 17 - (19652 - 28900 + 10200 - 600)/(3468 - 3400 + 600) = 17 - 0,527 = 16,473\\\\x_2 = 16,473 - (17880,4353 - 27135,9729 + 9883,8 - 600)/(3256,3168 - 3294,6 + 600) = 16,473 - 0,0503 = 16,4227\\\\x_3 = 16,4227 - (17717,1422 - 26970,5075 + 9853,62 - 600)/(3236,4609 - 3284,54 + 600) = 16,4227 - 0,0005 = 16,4222$

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