Question

Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo de castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Nesse caso, as quantidades de cada ingrediente por lata são a) 270 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 105 de castanha-do-pará. b) 270 g de amendoim, 172,5 g de castanha de caju e 57,5 g de castanha-do-pará. c) 250 g de amendoim, 125 g de castanha de caju e 125 g de castanha-do-pará. d) 228 g de amendoim, 100 g de castanha de caju e 72 g de castanha-do-pará.

#UNICAMP

Answer 1

são 250 gramas de amendoim, 125 gramas de castanha do pará e 125 gramas de castanha do cajú

Vamos representar amendoim por $a$, castanha de caju por $c$ e castanha do Pará por $p$

Sabendo que o custo total deve ser R$ 5,75 e sabendo o preço do quilo de cada uma das sementes, podemos escrever a equação

$5a+20c+16p=5,75$

Ou seja, as quantidades em gramas de $a,c$ e [/tex]p[/tex] são escolhidas de forma que o preço seja R$ 5,75.

Sabemos também que a massa total tem que ser igual a meio quilo, o que é representado pela equação

$a+c+p=0,5kg$

Com estas informações podemos escrever um sistema linear

$\begin{Bmatrix}5a&+20c&+16p&=&5,75\\a&+c&+p&=&0,5\end{matrix}$

Além disso, existe uma relação entre a quantidade de castanha de caju e asa outras duas castanhas dada pela equação

$c=\dfrac{a+p}{3}$

Ao aplicar esta relação no sistema de equações que escrevemos teremos

$\begin{Bmatrix}5a&+20\dfrac{(a+p)}{3}&+16p&=&5,75\\\\a&+\dfrac{a+p}{3}&+p&=&0,5\end{matrix}$

Agora precisamos organizar as variáveis e resolver o sistema:

organizando:

$\begin{Bmatrix}\left(5+\dfrac{20}{3}\right)a &+\left(16+\dfrac{20}{3}\right)p&=&5,75\\\\\left(1+\dfrac{1}{3}\right)a &\left(1+\dfrac{1}{3}\right)p&=&0,5\end{matrix}$

Este sistema possui solução única que é

$\begin{Bmatrix}a&=&0,25\\\\p&=&0,125 \end{matrix}$

Sabendo a medida de $a$ e de $p$ podemos encontrar $c$ pela equação $a+c+p=0,5kg$

$0,25+c+0,125=0,5kg$

$c=0,5-0,125-0,25$

$c=0,125$

Vamos conferir se esta é a resposta correta usando a equação $c=\dfrac{a+p}{3}$

$0,125=\dfrac{0,25+0,125}{3}$ e vemos que os dois lados são iguais.