Question

01) O conjunto solução da equação cos x = cos (π/3 – x ), para 0 menor que x e 2π maior que X, é correspondente a qual valor?

Answer 1

Equação trigonométrica.

Tendo uma equação trigonométrica desse tipo, podemos simplesmente igualar os ângulos ou podemos fazer algumas contas.

Sendo assim, vamos para nossa equação.

1ª forma de resolver

Equação :

$Cos(x) = Cos(\frac{\pi}{3} - x )$

igualando os ângulos:

$x = \frac{\pi}{3} - x$

$2x = \frac{\pi}{3}$

$x =\frac{\pi}{6}$ (1° quadrante)  

Pronto.  essa é a resposta completa ? Não !!

A questão diz que o x está no intervalo ⇒ $0<x<2.\pi$, ou seja, o x também pode estar no 2°,3° e 4° quadrante. Então precisamos achar os respectivos valores dos outros ângulos que satisfazem a equação.

relembrando um pouco :

Sendo : $\pi = 180$º

1)$Cos(\pi -x ) = -Cos(x)$ (2° quadrante)

2)$Cos(\pi+x) = -Cos(x)$  (3° quadrante)

3) $Cos(2.\pi-x) = Cos(x)$  (4° quadrante)

Então basta substituir $x = \frac{\pi}{6}$ e achar os soluções restantes.

Resolvendo :

1) $Cos(\pi -x ) = -Cos(x)$

Substituindo  $x = \frac{\pi}{6}$ :

$Cos(\pi -\frac{\pi}{6} ) = -Cos(\frac{\pi}{6})$ ⇒ $Cos(\frac{5.\pi}{6} ) = -Cos(\frac{\pi}{6})$

Nós queremos o ângulo. ângulo : $( \frac{5\pi}{6} )$ (2° quadrante)

2) $Cos(\pi+x) = -Cos(x)$  

Substituindo  $x = \frac{\pi}{6}$ :

$Cos(\pi+\frac{\pi}{6}) = -Cos(\frac{\pi}{6})$ ⇒ $Cos(\frac{7.\pi}{6}) = -Cos(\frac{\pi}{6} )$

Angulo que queremos : $(\frac{7.\pi}{6})$ ( 3° quadrante)

3) $Cos(2.\pi-x) = Cos(x)$  

Substituindo  $x = \frac{\pi}{6}$ :  

$Cos(2.\pi - \frac{\pi}{6} ) = Cos(\frac{\pi}{6} )$  ⇒ $Cos(\frac{11\pi}{6} ) = Cos(\frac{\pi}{6} )$

Angulo que queremos : $(\frac{11\pi}{6} )$ (4° quadrante)

Agora que obedecemos o intervalo da questão, nossas soluções são :

$x = [ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} ]$

2ª Forma de resolver

Relembrando um pouco de arcos soma/substração :

$Cos(x-y) = Cos(x).Cos(y) + Sen(x).Sen(y)$

Sabendo disso vamos aplicar isso na nossa equação :

Equação :

$Cos(x) = Cos(\frac{\pi}{3} - x)$

Aplicando a propriedade do Cos(x-y)

$Cos(\frac{\pi}{3} - x) = Cos(\frac{\pi}{3}).Cos(x) + Sen(\frac{\pi}{3}).Sen(x)$

Lembrando que $\frac{\pi}{3} = 60$, Então :

$Cos(60) = \frac{1}{2}$ e $Sen(60) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,

Portanto :

$Cos(\frac{\pi}{3} - x) = \frac{1}{2}.Cos(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}.Sen(x)$

$Cos(\frac{\pi}{3} - x) = \frac{.Cos(x)+ \sqrt{3}Sen(x)}{2}$

Substituindo esse valor na expressão original :

$Cos(x) = Cos(\frac{\pi}{3} - x)$

$Cos(x)= \frac{Cos(x)+ \sqrt{3}Sen(x)}{2}$

$2.Cos(x) = Cos(x) + \sqrt{3}.Sen(x)$

$Cos(x) = \sqrt{3}.Sen(x)$

Vamos elevar ao quadrado dos dois lados da igualdade

$Cos^2(x) = 3.Sen^2(x)$

Lembrando que : $Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1$, isolando o Sen²(x) temos :

$Sen^2(x) = 1 - Cos^2(x)$.

Substituindo :

$Cos^2(x) = 3.Sen^2(x)$

$Cos^2(x) = 3.(1-Cos^2(x))$

$Cos^2(x) = 3 - 3Cos^2(x)$

$4.Cos^2(x) = 3$

$Cos^2(x) = \frac{3}{4}$

$Cos(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}^2}$

Precisamos achar o ângulo que resulta em  $\pm \frac{\sqrt{3}}^2}$ , no intervalo que questão informa. ( $0<x<2\pi$ ).

Valores positivos de Cosseno = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ( 1° e 4° quadrante )

1° quadrante

$x = \frac{\pi}{6}$

e

4° quadrante

$x = 2.\pi - \frac{\pi}{6 }$ ⇒ $x = \frac{11.\pi}{6}$

Valores Negativos de Cosseno = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$  ( 2° e 3° quadrante)

2°quadrante

$x = \pi - \frac{\pi}{6}$ ⇒ $x = \frac{5.\pi}{6}$

e

3° quadrante

$x = \pi + \frac{\pi}{6}$ ⇒ $x = \frac{7.\pi}{6}$

Então nossas soluções são :

$x = [ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} ]$  

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida é só falar. Bons estudos ^^

Answer 2

$cos(a)=cos(b)\Leftrightarrow\begin{cases}\mathsf{a=b}\\\mathsf{a=-b}\end{cases}$

$cos(x)=cos(\dfrac{\pi}{3}-x)\Leftrightarrow \\ \begin{cases}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}-x}\\\mathsf{x=-(\dfrac{\pi}{3}-x)}\end{cases}$

$\mathsf{x=\dfrac{\pi}{3}-x}\\\mathsf{x+x=\dfrac{\pi}{3}}\\\mathsf{2x=\dfrac{\pi}{3}}\\\mathsf{6x=\pi}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}}}}}$

$\mathsf{x=-(\dfrac{\pi}{3}-x)}\\\mathsf{x=-\dfrac{\pi}{3}+x}\\\mathsf{x-x=-\dfrac{\pi}{3}}\\\mathsf{0x=-\dfrac{\pi}{3}\to\not\exists\,x\in~\mathbb{R}}$

Porém x pode ter outros valores no intervalo [0,2π].

Esses arcos podem ser

$\mathsf{\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}(caso\,seja\,do\,2^{\underline{o}}\,quadrante) }$

$\mathsf{\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}(caso\,seja\,do\,3^{\underline{o}}\,quadrante) }$

$\mathsf{2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}(caso\,seja\,do\,4^{\underline{o}}\,quadrante) }$

Daí

$\mathsf{s=\{\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{6}\}}$