Question

Na figura abaixo, uma esfera encontra-se inscrita em um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Um tronco de cilindro circular reto, por sua vez, tem uma base contida na face BFGC do cubo, outra base contida na face DHEA e superfície lateral tangente à esfera e às faces DABC e CGHD.Se cada aresta do cubo mede 4 cm, determine a medida do raio da base do tronco de cilindro. Justifique sua resposta.

#UFF

Answer 1

Consideramos que R, S, T e U sejam os  pontos médios das arestas AB, EF, GH e CD.

As interseções do plano contendo os pontos R, S, T e U, com o cubo, com a esfera e com o tronco de cilindro formarão, respectivamente, um quadrado RSTU, contendo o círculo de centro O e o círculo de centro P.

(Segue em anexo uma imagem para melhor ilustrar o raciocínio).

Agora, assumimos que:

• N como ponto médio do segmento RU e Q for o ponto de interseção do segmento OP  juntamente com o círculo de centro O;
• L e M como pontos de interseção do segmento ON, com os  segmentos paralelos ao segmento ST passando, respectivamente, por Q e P;
• r e s designam os raios dos círculos de centro O e P, respectivamente.

Teremos que:

$OL+ LM + MN = ON$ ⇒ $\frac{r \sqrt{2} }{2} + \frac{s\sqrt{2} }{2} + s + r$ ⇒ $s = \frac{r ( 2 - \sqrt{2})}{ 2 + \sqrt{2}) }$

Uma vez que r = 2cm, conclui-se que o raio da base do tronco do cilindro reto mede:

$s = \frac{r ( 2 - \sqrt{2})}{ 2 + \sqrt{2}) } cm = 6 - 4\sqrt{2} cm$

Espero ter ajudado, bons estudos.