Question

Um barbante de 10 metros de comprimento será cortado em dois pedaços (não necessariamente de mesmo tamanho). Um dos pedaços será usado para se construir um quadrado e o outro pedaço será usado para se construir um triângulo equilátero.Sendo x a medida em metros do pedaço do barbante a ser usado para construir o quadrado, determine:a) As áreas do quadrado e do triângulo em função de x. Justifique sua resposta; b) O valor de x que torna a soma S das áreas do quadrado e do triângulo a menor possível. Justifique sua resposta

#UFF

Answer 1

Utilizando definições geometricas e derivadas primeiras para obter extremos de funções, temos que:

a)

$A_q=\frac{x^2}{16}$

$A_t=\frac{(10-x)^2\sqrt{3}}{36}$

b)

x = 4,35.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que o tamanho do pedaço que temos para oquadrado vale x, então seu lado vale:

$L_q=\frac{x}{4}$

Logo sua área vale:

$A_q=L_q^2=\frac{x^2}{16}$

Da mesma forma o tamanho do pedaço que sobrou para o triangulo é de (10-x), então o tamanho do seu lado é de:

$L_t=\frac{10-x}{3}$

Logo sua área é de:

$A_t=\frac{L_t^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(10-x)^2\sqrt{3}}{36}$

Assim somando suas áreas temos o total:

$A=\frac{x^2}{16}+\frac{(10-x)^2\sqrt{3}}{36}$

Para encontrarmos o valor minimo desta função área, basta derivarmos esta função e igualarmos a 0 para descobrirmos seus pontos extremos:

$A'=\frac{x}{8}-\frac{(10-x)\sqrt{3}}{18}$

Note que no segundo termo desta derivada eu utilizei regra da cadeia, e por isso ficou um sinal negativo na frente dele, pois a derivada de 10-x é igual a -1.

Assim vamos igualar esta função a 0 e descobrir seu ponto extremo:

$0=\frac{x}{8}-\frac{(10-x)\sqrt{3}}{18}$

$(10-x)=\frac{18x}{8\sqrt{3}}$

$10-x=\frac{3x\sqrt{3}}{4}$

$10=x+\frac{3x\sqrt{3}}{4}$

$10=\frac{4x+3x\sqrt{3}}{4}$

$40=4x+3x\sqrt{3}$

$40=x(4+3\sqrt{3})$

$x=\frac{40}{4+3\sqrt{3}}$

Fazendo uma aproximação de raíz:

$x=\frac{40}{4+3\sqrt{3}}$

$x=\frac{40}{4+3.1,73}$

$x=\frac{40}{4+5,2}$

$x=\frac{40}{9,2}$

$x=4,35$

Assim temos que a menor área possível é quando x é igual a 4,35 metros.

a) As áreas do quadrado e do triângulo em função de x. Justifique sua resposta;

$A_q=\frac{x^2}{16}$

$A_t=\frac{(10-x)^2\sqrt{3}}{36}$

b) O valor de x que torna a soma S das áreas do quadrado e do triângulo a menor possível. Justifique sua resposta

x = 4,35.