Question

Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares.A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro.A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: (A) 1 (B) 2 (C) √2 (D) √3 (E) ∛2

#UFF

Answer 1

A alternativa correta é a letra (D) √3

Vamos aos dados/resoluções:

Primeiramente precisamos pensar qual seria o raio da circunferência circunscrita e já que ela tangencia os vértices, seu raio será igual a distancia de um vértice, ao centro do cubo? Para achar basta dividir de um cubo, que seria L√3 por 2.

Seguindo com o desenvolvimento, teremos que  achar o raio da circunferência inscrita. Então, ele tangencia os lados do cubo, logo seu raio será a distância do meio do lado do cubo até seu centro, com isso: Seu raio será L/2 ;  

Juntando os princípios agora, teremos:  

L√3/2 / L/2 = √3 ;  

Como L/2 se anula, então sobra apenas o termo √3.

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)