Question

Questão mais fácil que ENEM...

 

Qual é o valor do termo independente de x do binômio $(\frac{2}{x^2}+x)^n$ , considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento?

 

A) 435

 

B) 672

 

C) 543

 

D) 245

NÃO ACEITO SÓ RESPOSTA!

Answer 1

$([2/x^{2}] + x)^{n}=(2x^{-2}+x)^{n}$

Lembre-se que o termo independente está junto do xº

Ex: x² - 4x + 4 = x² - 4x + 4xº
_______________________

Sabemos que a fórmula do termo geral do binômio de newton é:

$T_{k+1}=Cn,k*a^{n-k}*b^{k}$

Como é o termo 7, k + 1 = 7 => k = 6

$T_{7}=C_{n,6} * (2x^{-2})^{(n-6)}*x^{6}$
$T_{7}=C_{n,6}*2^{(n-6)}*x^{[-2(n-6)]}*x^{6}$
$T_{7}=C_{n,6}*2^{(n-6)}*x^{(-2n+12)}*x^{6}$
$T_{7}=C_{n,6}*2^{(n-6)}*x^{(-2n+12+6)}$
$T_{7}=C_{n,6}*2^{(n-6)}*x^{(-2n+18)}$

Como eu disse, o termo independente é acompanhado do xº, logo x elevado a (- 2n + 18) deve ser igual a xº

$x^{(-2n+18)}=x^{0}$
$-2n+18=0$
$18=2n$
$n=9$

$T_{7}=C_{9,6}*2^{(9-6)}*x^{0}$
$T_{7}=(9!/[6!(9-6)!])*2^{3}$
$T_{7}=(9*8*7*6!/[6!3!])*8$
$T_{7}=(9*8*7/[3*2])*8$
$T_{7}=3*4*7*8$
$T_{7}=672$

Answer 2

O valor do termo independente de x do binômio (2x⁻² + x)ⁿ, considerando que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento é 672.

Observe que podemos escrever a fração 2/x² da seguinte maneira 2x⁻².

Sendo assim, vamos reescrever o binômio da seguinte maneira: (2x⁻² + x)ⁿ.

Para calcularmos o valor do termo independente de x do binômio (2x⁻² + x)ⁿ, utilizaremos a fórmula do termo geral do binômio de Newton, que nos diz que: $T_{p+1}=C(n,p).a^{n-p}.b^{p}$, sendo (a + b)ⁿ o binômio.

Então, temos que:

$T_{p+1}=C(n,p).(\frac{2}{x^2})^{n-p}.x^p$

$T_{p+1}=C(n,p).\frac{2^{n-p}}{x^{2n-2p}}.x^p$

$T_{p+1}=C(n,p).2^{n-p}.x^{3p-2n}$

Como o binômio corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento, então o valor de p tem que ser igual a 6, pois 6 + 1 = 7.

Substituindo o valor de p na expressão acima, obtemos:

$T_{6+1}=C(n,6).2^{n-6}.x^{18-2n}$.

Considerando que 18 - 2n = 0, obtemos n = 9.

Portanto, o valor do termo independente é igual a:

T₇ = C(9,6).2⁹⁻⁶

T₇ = 84.8

T₇ = 672.

Para mais informações sobre binômio de Newton, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19029672