Question

Determine os valores de a e b para que a seguinte expressão torne-se uma igualdade
$\frac{x - 3}{x ^2 - 3x + 2} = \frac{a}{x - 1} + \frac{b}{x - 2}$
2)Determine os valores de a,b e c para que a seguinte expressão torne-se uma igualdade
$\frac{4x - 2}{ x ^{3} - 3x ^{2} + 2x } = \frac{a}{x} + \frac{b}{x - 1} + \frac{c}{x - 2}$

​

Answer 1

Resposta:

1)

a/(x-1) +b/(x-2)=[a*(x-2)+b*(x-1)]/[(x-1)*(x-2)]

=[ax-2a+bx-b]/[x²-3x+2]

(x-3)/[x²-3x+2] =[-2a-b+x*(a+b)]/[x²-3x+2]

x-3 =x*(a+b)-2a-b

1=a+b   (i)

-3=-2a-b ==>3=2a+b  (ii)

(i)-(ii)

-2=-a ==>a=2    

usando (i) ==>1=2+b ==>b=-1

a=2  e b=-1

2)

a/x+b/(x-1)+c/(x-2)

[a*(x-1)*(x-2) +bx*(x-2)+c*x*(x-1)]/[x*(x-1)*(x-2)]

[a*(x²-3x+2) +bx²-2bx +cx²-cx]/(x³-3x²+2x)

[ax²-3ax+2a+bx²-2bx +cx²-cx]/(x³-3x²+2x)

[x²*(a+b+c)+x*(-3a-2b-c) +2a]/(x³-3x²+2x)

(4x-2)/(x³-3x²+2x)=[x²*(a+b+c)+x*(-3a-2b-c) +2a]/(x³-3x²+2x)

(4x-2)=[x²*(a+b+c)+x*(-3a-2b-c) +2a]

a+b+c=0    ==>b+c=1  (i)

-3a-2b+c=4 ==>c-2b=1   (ii)

-2=2a ==>a=-1

(i)-(ii) ==> 3b=0  

usando (i)  ==>0+c=1 ==>c=1

a=-1 , b=0  e c= 1

Answer 2

Resposta:

1) a= 2 e b= -1

2) a= -1, b= -8 e c=9

Explicação passo-a-passo:

1)

$\displaystyle\\\frac{x-3}{x^2-3x+2} =\frac{a}{x-1} +\frac{b}{x-2}\\\\\\\frac{x-3}{x^2-3x+2} =\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)}\\\\\\\frac{x-3}{x^2-3x+2} =\frac{ax-2a+bx-b}{(x-1)(x-2)}\\\\\\\frac{x-3}{x^2-3x+2} =\frac{(a+b)x-2a-b}{(x-1)(x-2)}$

Comparando os termos, temos:

a+b=1 => ×2 => 2a+2b=2 (I)

-2a-b=-3 (II)

Para resolver o sistema (I)+(II)

2a-2a+2b-b=2-3 => b= -1

Substituindo b= -1 em (I)

2a+2(-1)=2

2a-2=2

2a=2+2

2a=4

a=4/2=2

2)

$\displaystyle \frac{4x-2}{x^3-3x^2+2x} =\frac{a}{x} +\frac{b}{x-1} +\frac{c}{x-2} \\\\\\\frac{4x-2}{x^3-3x^2+2x} =\frac{a(x-1)(x-2)+bx(x-2)+cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}\\\\\\\frac{4x-2}{x^3-3x^2+2x} =\frac{a(x^2-2x-x+2)+bx^2-2bx+cx^2-cx}{x(x^2-2x-x+2))}\\\\\\\frac{4x-2}{x^3-3x^2+2x} =\frac{(a+b+c)x^2-(2b+c+3)x+2a}{x(x^2-3x+2)}\\\\\\\frac{4x-2}{x^3-3x^2+2x} =\frac{(a+b+c)x^2-(2b+c+3)x+2a}{x^3-3x^2+2x}$

Comparando os termos, temos:

2a=-2 => a= -1

-(2b+c+3)=4 => 2b+c= -4-3 => 2b+c= -7 (I)

a+b+c=0 => -1+b+c=0 => b+c= 1 => ×(-1)=>-b-c= -1 (II)

Para resolver o sistema faça (I)+(II):

2b-b+c-c=-7-1 => b= -8

Substituindo b= -8 em (II)

-8+c=1 => c= 1+8 = 9