Question

Suponha que os vértices dessa mesa sejam os centros dos arcos de circunferência que passam pelos outros dois vértices. Considerando as distâncias entre dois vértices iguais a d, pode-se afirmar que a área ocupada pela mesa é

(A) S = d²/6 . π


(B) S = d²/4 . √3


(C) S = d²/2 . (π - √3)


(D) S = π . d²


(E) S = d²/2

Answer 1

A alternativa correta será (A) S = d²/6 . π

Considerando que os ângulos internos da mesa são iguais, e por isso ela é equilátera, a área da mesa pode ser calculada pelo arco formado com raio igual a "d" no ângulo de 60°.

Portanto, ao relacionar a área completa da circunferência e o ângulo completo possível de 360°, com a área do arco e o ângulo de 60°, temos:

360 -------- π*d²

60 ---------- Área do arco (S)

60*π*d² = 360*S

S = 60*π*d²/360

S = d²/6 . π (opção a)

Espero ter ajudado!

Answer 2

• Como fica a figura representada pela mesa?

A primeira imagem anexa mostra a figura da mesa montada com a sobreposição de 3 círculos (área em verde)

• Como encontrar a área da mesa?

Unindo-se os 3 vértices da mesa, obtemos o triângulo equilátero mostrado na segunda imagem anexa.

Dessa forma, podemos ver que a área da mesa é igual à soma da área do triângulo (em verde) mais a soma das áreas dos 3 segmentos circulares (em amarelo), ou seja,

$A_{mesa}=A_{tri\^angulo}+3~.~A_{segmento}$

• Qual a equação para a área do triângulo equilátero?

Ela é dada por $A=\dfrac{d^2~.~\sqrt{3}}{4}$ onde $d$ é a medida do lado do triângulo.

• Qual a equação para a área do segmento circular?

A terceira imagem anexa mostra um segmento circular, cuja área é dada pela seguinte equação:

$A=\dfrac{R^2}{2}~.~(\alpha-sen~\alpha)$

onde,

• $R$ é o raio do círculo
• $\alpha$ é a medida do ângulo central

• Resolvendo o problema

A partir do desenho, podemos ver que $R=d$

A partir do triângulo equilátero, temos que

$\alpha=60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3}~rad$

e, portanto,

$sen~60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Substituindo tudo na primeira fórmula:

$A_{mesa}=A_{tri\^angulo}+3~.~A_{segmento}\\\\A=\dfrac{d^2~.~\sqrt{3}}{4}+3~.~\dfrac{d^2}{2}~.~(\dfrac{\pi}{3}-sen~\dfrac{\pi}{3})\\\\A=\dfrac{d^2~.~\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3~.~d^2}{2}~.~\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\\\A=\dfrac{d^2~.~\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3\pi~.~d^2}{6}-\dfrac{3\sqrt{3}~.~d^2}{4}\\\\A=\dfrac{d^2~.~\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\pi~.~d^2}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}~.~d^2}{4}\\\\A=d^2~.~ \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \right)$

$A=d^2~.~ \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\sqrt{3}}{4} \right)\\\\A=d^2~.~ \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\\\\\\\boxed{\boxed{A=\dfrac{d^2}{2}~.~ (\pi-\sqrt{3})\\}}$

• Conclusão

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/20210927