Question

Aplique a propriedade e resolva​

Answer 1

Resposta:

$log_{3}( {27}^{ \frac{2}{3} } ) = 2$

Explicação

Primeiro, vamos calcular quanto vale 27⅔, para depois resolver o log.

Calcular 27⅔.

Existe uma propriedade em potenciação que diz que:

${x}^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{ {x}^{m} }$

Logo:

${27}^{ \frac{2}{3} } = \sqrt[3]{ {27}^{2} } = \sqrt[3]{789}$

Para calcular a raiz cúbica de 729, vamos fatorar, agrupando os elementos de forma que fiquem com o expoente 3:

729 | 3

243 | 3

81 | 3

27 | 3

9 | 3

3 | 3

1 | →→ 3³ × 3³

Então: 729 = 3³ × 3³

$\sqrt[3]{ {3}^{3} \times {3}^{3} } = 3 \times 3 = 9$Lembre que quando temos um número sendo elevado a um expoente de mesmo valor que o índice da raiz, ele pode sair da raiz.

E nossa resposta está correta, pois 9³ = 9 × 9 × 9 = 729.

Portanto, 27⅔ = 9

Resolver o log

$log_{3}( {27}^{ \frac{2}{3} } ) = log_{3}(9)$

A propriedade de log diz que:

$log_{a}(b) = x$

Bi-implica em:

${a}^{x} = b$

Aplicando:

${3}^{x} = 9$

Pode ser escrito como:

${3}^{x} = {3}^{2}$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

x = 2

Portanto,

$log_{3}( {27}^{ \frac{2}{3} } ) = 2$