Question

Determine o período e o conjunto imagem, construindo o gráfico de um período completo para cada função dada.a) por f(x) = 1+ 4 sen x.b) por f(x) = 2sen (x-3)

Answer 1

Para encontrar o domínio, período e imagem precisamos primeiro entender esses conceitos.

• Domínio: todos os valores que x pode ser. No caso de todos os itens, D = R (conjunto dos números reais).

• Imagem: intervalo de todos os valores que y pode ser. Sabemos que o seno e cosseno normalmente variam entre -1 e 1. Porém quando há algo do lado de fora da função trigonométrica, como nas letras a e c, estes valores se alterarão.

• Período: O gráfico das funções trigonométricas é periódico, ou seja, se repete de acordo com um padrão, o período é o intervalo x deste "padrão".

Para resolver o seu exercício, precisamos lembrar que y = sen x é uma função cuja varia de -1 a 1 e seu período é 2π. Ao fazer os gráficos, eu montei uma tabela em que é possível enxergar os períodos, veja as imagens.

a) Dom: R

Im: [-3,5]

P = 2π

b) Dom: R

Im: [-2,2]

P: (2π +3) - 3 = 2π

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Answer 2

O gráfico das funções f(x) = 1+ 4 sen x e f(x) = 2sen (x-3) é apresentado nas imagens em anexo.

Função senoidal

O período da função senoidal é uma dado pela angulação do círculo trigonométrico, que varia de 0 a 2π.

A função seno possuí é período fundamental igual a 2π (360°), tendo as seguintes características.

• Para Θ = 0, temos o seno é igual a 0.
• Para Θ = π/2, temos o seno é igual a 1.
• Para Θ = π, temos o seno é igual a 0.
• Para Θ = 3π/2, temos o seno é igual a -1.
• Para Θ = 2π, temos o seno é igual a 0.

Iremos estabelecer o domínio e imagem de cada uma das funções antes de plotar o gráfico.

LETRA A)

Para x = 0

f(0) = 1+ 4 sen 0 ⇒ f(0) = 1 + 0

f(0) = 1

Para x = π/2

f(π/2) = 1+ 4 sen (π/2) ⇒ f(π/2) = 1 + 4.1

f(π/2) = 5

Para x = π

f(π) = 1+ 4 sen (π) ⇒ f(π) = 1 + 4.0

f(π) = 1

Para x = 3π/2

f(3π/2) = 1+ 4 sen (3π/2) ⇒ f(3π/2) = 1 +4.(- 1)

f(3π/2) = - 3

Para x = 2π

f(2π) = 1+ 4 sen (2π) ⇒ f(2π) = 1 +4.0

f(2π) = 1

Veja o gráfico da função f(x) = 1+ 4 sen x na imagem em anexo, através do site wolframalpha.

Continue estudando mais sobre a função senoidal em:

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LETRA B)

O argumento da senoidal deve ser igual a 0.

x - 3 = 0 ⇒ x = 3

f(3) = 2 sen (3-3) ⇒ f(3) = 2.0

f(3) = 0

O argumento da senoidal deve ser igual a π/2.

x - 3 = π/2 ⇒ x = (π+6)/2

f((π+6)/2) = 2 sen ((π+6)/2-3) ⇒ f((π+6)/2) = 2.1

f(3) = 2

O argumento da senoidal deve ser igual a π.

x - 3 = π ⇒ x = π+3

f(π+3) = 2 sen (π+3-3) ⇒ f(π+3-3) = 2.0

f(π+3) = 0

O argumento da senoidal deve ser igual a 3π/2.

x - 3 = 3π/2 ⇒ x = (3π+6)/2

f((3π+6)/2) = 2 sen ((3π+6)/2-3) ⇒ f((3π+6)/2) = 2.(-1)

f((3π+6)/2) = -2

O argumento da senoidal deve ser igual a 2π.

x - 3 = 2π ⇒ x = 2π+3

f(2π+3) = 2 sen (2π+3-3) ⇒ f(2π+3) = 2.(0)

f(2π+3) = 0

Veja o gráfico da função f(x) = 1+ 4 sen x na imagem em anexo, através do site wolframalpha.

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