Question

dado que f(x) e a primitiva da questão f(x) 2x+3/x^2-9, qual valor de f(5) admitindo a constante c nula

Answer 1

Bom. eu tenho a derivada e quero achar a primitiva, então vamos resolver a integral.

Sou meio lerdo para substituições ou sacadas, então perdoe se eu fizer conta à toa.

$\int\limits_ {} \ \frac{2x+3}{x^2 - 9} dx$

Vamos fazer por fracões parciais.

primeiro, vamos colocar o denominador em produto notável.

$\int\limits_ {} \ \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} dx$

$\int\limits_ {} \ \frac{2x+3}{(x-3)(x+3) } = \int\limits_ {} \ \frac{A.dx}{(x-3)} + \int\limits_ {} \ \frac{B.dx}{(x+3) }$  

descobrindo o valor de A e B.

$\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{A}{(x-3)} + \frac{B}{(x+3)}$

$\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{A(x+3) + B(x-3)}{(x-3).(x+3) }$

Faz a distributiva e simplifica os denominadores.

2x+3 = Ax + Bx + 3.A - 3.B

2x = x(A+B)

3 = 3(A-B)

A+B = 2

A-B = 3

$A = \frac{3}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Voltando na integral e substituindo pela novas integrais

$\int\limits_ {} \ \frac{2x+3}{(x-3)(x+3) } = \int\limits_ {} \ \frac{3.dx}{2(x-3)} + \int\limits_ {} \ \frac{1.dx}{2(x+3) }$

note que $\frac{3}{2} e \frac{1}{2}$ são constantes, então eu posso tirá-las da integral

$\frac{3}{2} \int\limits_ {} \ \frac{1dx}{(x-3} + \frac{1}{2} \int\limits_ {} \ \frac{1.dx}{x+3}$

$\frac{3.ln|x-3|}{2} + \frac{ln|x+3|}{2} + C$

porém C = 0, a questão diz.

então, temos que :

$f(x) = \frac{3.ln|x-3| + ln|x+3|}{2 }$

$f(5) = \frac{3.ln(5-3) + ln(5+3)}{2}$

$f(5) = \frac{3.ln 2 + ln8}{2}$

note que 8 = 2³, então pela propriedade de log, posso pôr esse expoente 3 na frente do log ( multiplicando), Fazendo isso, vamos deixar em função de ln2

$f(5) = \frac{3.ln2 + 3.lon2}{2}$

3 + 3 = 6, da pra dividir por 2, então temos que :

$f(5) = 3.ln2$

se quiser aproximar.

ln2 ≅  0,69,

f(5) = 3.0,69

f(5) ≅ 2,08