Matéria: Matemática
Autor: taynaesteves
Perguntado 7 anos atrás

Considere a PA ( 3 , 7 , 11 , 15 , . . . ) . Qual o valor do seu quadragésimo quinto termo ? *

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (3, 7, 11, 15,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)quadragésimo quinto termo (a₄₅): ?

d)número de termos (n): 45 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 45ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do quadragésimo quinto termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quadragésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₄₅ = 3 + (45 - 1) . (4) ⇒

a₄₅ = 3 + (44) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₄₅ = 3 + 176 ⇒

a₄₅ = 179

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 45º termo da P.A.(3, 7, 11, 15, ...) é 179.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₄₅ = 179 fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quadragésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₄₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

179 = a₁ + (45 - 1) . (4) ⇒

179 = a₁ + (44) . (4) ⇒

179 = a₁ + 176 ⇒ (Passa-se 176 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

179 - 176 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₄₅ = 179.)

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