Question

(DESAFIO 151) Logaritmos

OBS: log ab ( a letra estranha é um G)

Answer 1

Resposta:

Leia abaixo

Explicação passo-a-passo:

$\boxed{log_{ab}\: a = 4}$

$(ab)^4 = a$

$\boxed{\boxed{ab = (a)^{\frac{1}{4}}}}$

$\boxed{\boxed{b = (a)^{-\frac{3}{4}}}}$

$\boxed{log_{ab}\: \dfrac{\sqrt[3]{a} }{\sqrt{b}}}$

$log_{ab} (a)^{\frac{1}{3}}(b)^{-\frac{1}{2}}$

$log_{ab} (a)^{\frac{1}{3}}((a)^{-\frac{3}{4}})^{-\frac{1}{2}}$

$log_{ab} (a)^{\frac{1}{3}}(a)^{\frac{3}{8}}$

$log_{ab} (a)^{\frac{17}{24}}$

$(ab)^n = a^{\frac{17}{24}}$

$(a^{\frac{1}{4}})^n = a^{\frac{17}{24}}$

$\dfrac{n}{4} = \dfrac{17}{24}$

$n = \dfrac{17}{6}$

$\boxed{\boxed{log_{ab}\: \dfrac{\sqrt[3]{a} }{\sqrt{b}} = \dfrac{17}{6}}}$

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Expressão Com logarítmos !

$\mathtt{ Se~\log_{ab}a~=~4 }$ , então $\mathsf{\log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} } ~=~? }$

Fazendo mudança de base na expressão dada :

$\iff \mathsf{ \dfrac{ \log_{a} a }{ \log_{a} ab }~=~4 }$

$\iff \mathsf{ \dfrac{1}{ \log_{a} ab }~=~4 \Rightarrow \log_{a} ab~=~\dfrac{1}{4} }$

Aplicando a propriedade do produto dos logarítmos :

$\iff \mathsf{ \log_{a} a + \log_{a} b~=~ \dfrac{1}{4} \iff \log_{a}b~=~ \dfrac{1}{4} - 1 }$

$\iff \boxed{\boxed{\mathtt{ \red{ \log_{a} b~=~ -\dfrac{3}{4} } } } }$

Agora vamos Simplificar a expressão a qual queremos o seu valor numérico :

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~\log_{ab} \sqrt[3]{a} - \log_{ab} \sqrt{b} }$

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~\dfrac{1}{3} \underbrace{\log_{ab} a}_{4} - \dfrac{1}{2}\log_{ab} b }$

Vamos fazer a mudança de base , no segundo termo do segundo membro :

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~ \dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ \log_{a} b }{ \log_{a} ab } }$

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~ \dfrac{4}{3} + \dfrac{ \frac{3}{8} }{ \log_{a}a + \log_{a}b } }$

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~ \dfrac{4}{3} + \dfrac{ \frac{3}{8} }{ 1 - \frac{3}{4} } }$

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~\dfrac{4}{3} + \dfrac{ \frac{3}{8} }{ \frac{1}{4} } }$

$\iff \mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} } ~=~ \dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{\cancel{8}}\cdot \cancel{4} }$

$\mathsf{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~ \dfrac{4}{3} + \dfrac{3}{2}~=~\dfrac{8}{6} + \dfrac{9}{6} }$

$\iff \boxed{\boxed{\mathtt{ \green{ \log_{ab} \dfrac{ \sqrt[3]{a} }{ \sqrt{b} }~=~ \dfrac{17}{6} } } } }$

Espero ter ajudado bastante!)

Att: P-Joaquim