Se o binômio (n 2) é equivalente a 21, então o valor de 3n−16 é igual a

Respostas

respondido por: marcos4829

Olá, boa tarde ◉‿◉.

Temos que:

$\boxed{ \binom{n}{2} = 21}$

Sabemos que para calcular o valor de um número binomial usamos a fórmula da combinação simples.

$\binom{n}{p} = \frac{n! }{p!( n - p )! } \\ \\ n! = n.(n - 1).(n - 2).(n - 3)!..$

Tendo conhecimento disso, vamos calcular o valor de (n 2).

$\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n - 2) !} \\ \\ \frac{n!}{2!(n - 2) !} = 21 \\ \\ \frac{n. (n - 1). \cancel \red{(n - 2)!}}{2! \red{ \cancel{(n - 2) !}} } = 21 \\ \\ \frac{n.(n - 1)}{2 ! } = 21 \\ \\ \frac{n {}^{2} - n }{2.1} = 21 \\ \\ \frac{n {}^{2} - n}{2} = 21 \\ \\ n {}^{2} - n = 2.21 \\ \\ n {}^{2} -n = 42 \\ \\ \boxed{n {}^{2} - n - 42 = 0}$

Resolvendo a equação do segundo grau:

I) Coeficientes:

$\begin{cases} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = - 42\end{cases}$

II) Bháskara:

$\boxed{n = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c } }{2.a} }\\ \\ n = \frac{ - ( - 1) \pm \sqrt{( - 1) {}^{2} - 4.1.( - 42)} }{2.1} \\ \\ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 168} }{2} \\ \\ n = \frac{1 \pm \sqrt{169} }{2} \\ \\ n = \frac{1 \pm13}{2} \\ \\ n_1 = \frac{ 1 + 13}{2} \\ n_1 = \frac{14}{2} \\ \green{\boxed{n _1 = 7}}\\ \\ n_2 = \frac{1 - 13}{2} \\ n_2 = \frac{ - 12}{2} \\ \red{ \boxed{n _2 = - 6}}$

Como o Fatorial é um número inteiro positivo, então vamos desprezar o valor negativo obtido "-6", passando a ser então o valor de n o nosso outro resultado que é positivo, ou seja, n = 7.