Question

Dizemos que uma reta r é tangente a uma elipse E em um ponto P ∈ E se r
intersecta E apenas neste ponto, isto é, r ∩ E = {P}.
A) Mostre que a reta tangente à elipse E de equação b²x² + a²y² = a²b² no ponto P = (Xo, Yo) ∈ E é b²XoX + a²YoY = a²b².
OBS.: Uma dica para iniciar essa questão é escrever as equações paramétricas da reta r da seguinte forma
r : { x = Xo + tv1 , t ∈ IR, onde (v1, v2) é um vetor paralelo a r.
y = Yo + tv2
B) Encontre a equação da reta tangente à elipse E : x² + y² = 1 que passa pelo ponto
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(−3, 2). OBS.: O item (b) pode ser feito mesmo que o item (a) não tenha sido feito.

Answer 1

Acharemos (x0,y0) er e B²x²0 + a²y²0 = a²b² para a) e b).

Vamos aos dados/resoluções:  

R: {x = x0 + mt ;   tER ;

   y = yo + nt ;  

A reta tangente à elipse e no ponto p = (Xo,y0) EE ;  

Então Q = (Xo + mt, yo + nt) EE∩r se, e somente se;  

b² (mt + x0)² + a² (nt + y0)² = a²b² ;  

b² (m²t² + 2x0 mt + x²0) a² (n²t² + 2yont + y²0) = a²b² ;  

(b² m² + a² n²) t² + 2x0 mb² + 2x0 mb² + 2y0na²)t + b² x² + a² y²0 = a²b² = 0 ;  

Como b²x²0 + a²y²0 = a²b² = 0 já que P e E, temos que Q = (x0 + mt, y0 + nt) eE∩r se, e somente se ;

t [(b²m² + a²n²)t + (2x0mb² + 2yona²)] = 0 ;  

Sendo b²m² + a²n² > 0 e como r∩e consiste de um único ponto:  

2x0mb² + 2yona² = 0 ;  

ou seja (m,n) ⊥ (2xob²,2yoa²). Logo, o vetor (xob²,yoa²) é perpendiicular a r, isto é ;  

R = b² xox + a²yoy = b²x²0 + a²y²0 = a²b² ;  

finalizando então;  

(x0,y0) er e B²x²0 + a²y²0 = a²b².

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)