Question

Calcule valor dos radicais usando a decomposição em fatores primos:

a)
$\sqrt[3]{1728 } =$
b)
$\sqrt{1024} =$

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Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

E lá vamos nós de novo.

$\large\boxed{a) \: \sqrt[3]{1728} }$

Vamos fatorar o número que está dentro do radical, ou seja, 1728.

$\begin{array}{r|c}1728&2 \\ 864&2 \\ 432&2 \\ 216&2 \\ 108&2 \\ 54&2 \\ 27&3 \\ 9&3 \\ 3 &3 \\ 1 \end{array} \rightarrow \boxed{ 2 {}^{3} .2 {}^{3}. 3 {}^{3} }$

Substituindo esse valor dentro do radical:

$\sqrt[3]{ 1728} = \sqrt[3]{2 {}^{3} .2 {}^{3}.3 {}^{3} }$

Quando o expoente do número que está dentro do radical é igual ao índice da raiz, podemos fazer um "cancelamento" da raiz com o expoente, fazendo com que os números saiam da raiz. Caso tenha algum número com o expoente diferente e não pode fazer parte do "cancelamento" ele permanece. No nosso caso todos possuem o expoente igual ao índice, então todos saem da raiz.

$\sqrt[3]{2 {}^{3}.2 {}^{3} .3 {}^{3} } = 2.2.3 = \boxed{ 12}$

$\large \boxed{b) \sqrt{1024} }$

$\begin{array}{r|c}1024&2 \\ 512&2 \\ 256&2 \\ 128&2 \\ 64&2 \\ 32&2 \\ 16&2 \\ 8&2 \\ 4&2 \\ 2&2 \\ 1\end{array} \rightarrow \boxed{ 2 {}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} }$

Substituindo:

$\sqrt{1024} = \sqrt{2 {}^{2}. {2}^{2} . {2}^{2}. {2}^{2} . {2}^{2} }$

Do mesmo jeito do anterior quando o expoente é igual ao índice, então eles vão sair da raiz.

$\sqrt{2 {}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} . {2}^{2} } = 2.2.2.2.2 = \boxed{32}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️