Question

O arquiteto Nier desenvolveu um projeto para construir um reservatório sustentável. Sabe-se que o local onde o reservatório será construído é a região delimitada pelos gráficos de f e g no mesmo terreno. Com unidade de medida graduada em metros.

Sendo f(x) = 2x² - 7x e g(x) = -2x² + 7x, desenvolva cada item.



a) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e destaque a região que será ocupada pelo reservatório.

b) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pelo reservatório no terreno.

c) Se a profundidade do reservatório mede 2,4m apresente a capacidade máxima em litros desse reservatório.

d) O cliente gostou do projeto apresentado pelo arquiteto Nier, porém solicitou uma ampliação de 30% na capacidade do reservatório. Para atender a esse pedido, qual deve ser a nova profundidade do reservatório sem alterar sua área de ocupação do terreno?

Answer 1

A área da região ocupada pelo reservatório no terreno é 343/12 u.a.; A capacidade máxima, em litros, é 68600; A nova profundidade deve ser de 3,12 metros.

a) As funções f(x) = 2x² - 7x e g(x) = -2x² + 7x são quadráticas, sendo que f possui concavidade para cima e g possui concavidade para baixo.

Os pontos de interseção entre as duas curvas são:

2x² - 7x = -2x² + 7x

4x² - 14x = 0

x(4x - 14) = 0

x = 0 e x = 7/2.

Assim, temos que a região que será ocupada pelo reservatório é a que está hachurada na figura abaixo.

b) Utilizando a integral definida, obtemos:

$A=\int\limits^{\frac{7}{2}}_b {-2x^2+7x-2x^2+7x} \, dx$

$A=\int\limits^{\frac{7}{2}}_0 {-4x^2+14x} \, dx$

A = -4x³/3 + 7x².

Substituindo os limites de integração:

A = -4(7/2)³/3 + 7.(7/2)²

A = -4(343/8)/3 + 7.49/4

A = (-343/2)/3 + 343/4

A = -343/6 + 343/4

A = 343/12 u.a.

c) Basta calcularmos o produto de A por 2,4. Logo, a capacidade máxima será:

V = 2,4.343/12

V = 68,6 m³

V = 68600 litros.

d) Ao calcularmos 30% da capacidade, obtemos: 0,3.68,6 = 20,58 m³.

Então, a nova capacidade será 20,58 + 68,6 = 89,18 m³.

Logo, a nova profundidade será:

89,18 = h.343/12

343h = 1070,16

h = 3,12 metros.

Answer 2

Complementando a resposta da Silvageeh:

Faltou apenas fazer o cálculo das coordenadas do vértice de ambas as situações. Segue o exemplo abaixo:Calculando as coordenadas do vértice calculando 2x² - 7x  

Xv= -b/2.a  

Xv= -(-7)/2.2→7/4 = 1,75  

Yv= -∆/4.a  

-((-7)²-4.2.0)/4.2→49-0/8= -49/8= 6,125  

Sendo assim ficaria para a parábola do vértice voltado para cima X= 1,75 e Y= -6,125

Calculando as coordenadas do vértice calculando -2x² + 7x  

Xv= -b/2.a  

Xv= -7/2.(-2)→ -7/-4= 1,75  

Yv= -∆/4.a  

-((7)²-4.-2.0)/4.-2→-49-0/-8= -49/-8= 6,125  

Sendo assim ficaria para a parábola do vértice voltado para baixo X= 1,75 e Y= 6,125

Espero ter ajudado...