Question

Como derivar essa função?
$y= \frac{ x^{2} +4x+3}{ \sqrt{x} }$

Usei a regra do quociente mas a minha resposta está errada...

Answer 1

Regra do quociente:

$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^{2}}$
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Pode resolver pela regra do quociente ou simplificando a expressão

Regra do quociente:

$y'=\dfrac{\sqrt{x}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+4x+3)-(x^{2}+4x+3)\cdot\frac{d}{dx}\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^{2}}\\\\\\y'=\dfrac{\sqrt{x}\cdot(2x+4)-(x^{2}+4x+3)\cdot\frac{d}{dx}x^{1/2}}{|x|}\\\\\\y'=\dfrac{\sqrt{x}(2x+4)-(x^{2}+4x+3)\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}}{|x|}\\\\\\y'=\dfrac{\sqrt{x}(2x+4)-\frac{x^{2}+4x+3}{2\sqrt{x}}}{|x|}$

Somando o numerador:

$y'=\dfrac{\frac{2x\cdot(2x+4)-(x^{2}+4x+3)}{2\sqrt{x}}}{|x|}\\\\\\y'=\dfrac{4x^{2}+8x-x^{2}-4x-3}{2|x|\sqrt{x}}\\\\\\y'=\dfrac{3x^{2}+4x-3}{2|x|\sqrt{x}}$

Veja que x não pode ser negativo, pois existe uma raiz de x na derivada. Portanto, o módulo de x é x:

$\boxed{\boxed{y'=\dfrac{3x^{2}+4x-3}{2x\sqrt{x}}}}$
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Outra forma (mais simples):

$y=\dfrac{x^{2}+4x+3}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^{2}+4x+3}{x^{1/2}}\\\\\\y=\dfrac{x^{2}}{x^{1/2}}+\dfrac{4x^{1}}{x^{1/2}}+\dfrac{3}{x^{1/2}}\\\\\\y=x^{3/2}+4x^{1/2}+3x^{-1/2}$

Derivando:

$y'=\dfrac{3}{2}x^{(3/2)-1}+\dfrac{1}{2}4x^{(1/2)-1}-\dfrac{1}{2}3x^{(-1/2)-1}\\\\\\y'=\dfrac{3}{2}x^{1/2}+\dfrac{1}{2}4x^{-1/2}-\dfrac{1}{2}3x^{-3/2}\\\\\\y'=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}+\dfrac{4}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\\\\\\y'=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sqrt{x^{4}}}{\sqrt{x^{3}}}+\dfrac{4}{2}\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{x^{3}}}-\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\\\\\\y'=\dfrac{3\sqrt{x^{4}}+4\sqrt{x^{2}}-3}{2\sqrt{x^{3}}}$

Como vimos, x deve ser positivo, pois existe raiz de x³ (e x³ é negativa se x < 0), portanto:

$\boxed{\boxed{y'=\dfrac{3x^{2}+4x-3}{2\sqrt{x^{3}}}}}$