Question

Considere o integral triplo:∭▒dV e a região de integração é o cilindro circular reto de base x^2+y^2=1, e altura de z=1 a z=3.

Answer 1

Resposta:

Volume = $2\pi$

Explicação passo-a-passo:

________Por geometria_______

Se a tua ideia é simplesmente calcular o volume do cilindro então nem precisa usar a integral tripla, basta multiplicar a área da base pela altura:

$V = A\times h$.

A área da base é simplesmente a área formada de um círculo com equação dada por $x^2+y^2 = 1$, logo o círculo tem raio unitário, portanto sua área é:

$A = \pi R^2 = \pi1^2 = \pi$.

a altura do cilindro vai de $z = 1$ até $z=3$, logo a altura efetiva do cilindro é dada por $h = 3-1 = 2$.

Agora o volume é dado por: $V = A\times h = \pi\times2 = 2\pi$.

________Por integral__________

Agora, se você realmente quer usar a integral então é só você fazer o seguinte:

Volume =  $\int\int\int dV = \int\int dA\int_{1}^{3} dz$

Área = $\int\int dA = \pi\times1^2 = \pi$

Altura = $\int_1^3dz = z|_1^3 = 3-1 = 2$

Volume = $\pi\times2 = 2\pi$