Question

mostre que o conjunto de vetores {(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} gera o espaço vetorial R3

Answer 1

Para verificar se 3 vetores geram espaço vetorial em R3 precisamos saber que o produto misto deles precisa dar 0. Vc pode associar isso com o volume de um paralelogramo, se vc coloca 3 vetores coplanares(que pertencem ao mesmo plano) o volume e 0.

O produto misto e o modulo do determinante da matriz que vc faz com os 3 vetores:

$\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right]$
usando a regra de sarrus para calculo do determinante

$\left[\begin{array}{ccc}0&1&-1\\0&1&1\\1&1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}0&1\\0&1\\1&1\end{array}\right] 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 2$
como o determinante e diferente de 0 podemos dizer que os 3 vetores sao gerados em um espaco R3.