Question

A área de um triângulo é de 4 unidades, sendo dois de seus vértices os pontos A (2,1) e B (3,-2).Sabendo que o terceiro vértice encontra se sobre o eixo das abscissas, pode se afirmar que suas coordenadas são?

Answer 1

A área de um triângulo, na geometria analítica pode ser dada por uma matriz 3x3, veja:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\x&y&1\end{array}\right] \\ \\ D = -4 + 3y + x + 2x - 2y - 3 \\ \bold{D = 3x + y - 7 = 8}$

Igualei a equação a 8, e não a 4, porque na geometria analítica, e também na geometria plana, você acha a área de um triângulo, dizendo bem resumidamente, ''fazendo a conta'', e dividindo o resultado por 2.

Na Geometria Plana é base x altura, e divide-se por 2.
Na analítica você acha por uma matriz, e quando você chega no determinante final, você divide por 2. Aqui estou fazendo o inverso, a área é quatro, então vou multiplicar por 2 pra achar as coordenadas dos outros pontos.

Como sabe-se que o ponto pertence ao eixo das abcissas (eixo x), veja:

$3x + y - 7 = 8 \\ 3x - 7 = 8 \\ x = 5$

Então a primeira possibilidade de coordenadas é C(5,0).

A outra é igualando a equação, ao invés de 8, podemos colocar -8 também.

$3x + y - 7 = -8 \\ 3x - 7 = -8 \\ 3x = -1 \\ \bold{x = \frac{-1}{3}}$

Então essas são as duas possibilidades:

C (5,0)
e/ou
C (-1/3, 0)