Question

Calcule o valor das expressões :

Answer 1

a)

Vamos passar os ângulos para graus:

$\frac{\pi}{6}~rad=\frac{180\º}{6}=30\º\\\\\frac{\pi}{4}~rad=\frac{180\º}{4}=45\º\\\\\frac{5\pi}{4}~rad=\frac{5\cdot180\º}{4}=225\º\\\\\frac{\pi}{3}~rad=\frac{180\º}{3}=60\º$

Dentre esses, apenas o 225º não é notável, mas a tangente desse ângulo pode ser encontrada com redução ao primeiro quadrante

225º - 180º = 45º

Como a tangente é positiva no terceiro quadrante (225º pertence ao terceiro quadrante):

$tg~225\º=tg~45\º=1$

Expressão:

$\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(tg~30\º-tg~45\º)\cdot\sqrt{3}}{tg~225\º+tg~60\º}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{3}-1)\cdot\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}}{3})-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(\frac{3}{3})-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

Racionalizando:

$\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{(1-\sqrt{3})^{2}}{1^{2}-(\sqrt{3})^{2}}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{1^{2}-2\cdot1\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}{1-3}$

$\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{1-2\sqrt{3}+3}{(-2)}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{(-2)}\\\\\\\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\dfrac{2\sqrt{3}-4}{2}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{(tg\frac{\pi}{6}-tg\frac{\pi}{4})\cdot\sqrt{3}}{tg(\frac{5\pi}{4})+tg(\frac{\pi}{3})}=\sqrt{3}-2}}$

b)

$x=\dfrac{2\pi}{3}~rad=\dfrac{2\cdot180\º}{3}=120\º$

Substituindo x por 120º na expressão:

$E=\dfrac{tg~240\º-tg~360\º}{1-(tg~120\º)^{2}}$
___________________

Avaliando as tangentes:

240º - 180º = 60º

Como a tangente é positiva no terceiro quadrante: tg 240º = tg 60º
___

360º coincide com 0º no ciclo trigonométrico

sen 360º = sen 0º = 0
cos 360º = cos 0º = 1

tg 360º = sen 360º / cos 360º = 0 / 1 = 0
___

180º - 120º = 60º

Como a tangente é negativa no segundo quadrante: tg 120º = - tg 60º
___________________

Voltando:

$E=\dfrac{tg~60\º-0}{1-(tg~120\º)^{2}}\\\\\\E=\dfrac{\sqrt{3}}{1-(-tg~60\º)}\\\\\\E=\dfrac{\sqrt{3}}{1-(tg~60\º)^{2}}\\\\\\E=\dfrac{\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3})^{2}}\\\\\\E=\dfrac{\sqrt{3}}{1-3}\\\\\\E=\dfrac{\sqrt{3}}{(-2)}\\\\\\\boxed{\boxed{E=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$