Question

Uma cerâmica da cidade de Três Lagoas comercializa 3 tipos de tijolos: T1, T2, e T3. A tabela a seguir indica pedidos de tijolos realizados por três clientes:

Cliente 1:

T1 = 5 mil
T2 = 2 mil
T3 = 3 mil

Cliente 2:

T1 = mil
T2 = 4 mil e quinhentos
T3 = 6 mil

Cliente 3:

T1 = 2 mil e quinhentos
T2 = 4 mil
T3 = 5 mil e quinhentos

Sabendo que os clientes 1, 2 e 3 pagaram por seus pedidos, respectivamente, a quantia de R$ 16 mil, R$ 19 mil e quinhentos e R$ 20 mil, é correto afirmar que:

a) O valor de cada unidade do tijolo T1 é R$2
b) Os três tipos de tijolos possuem o mesmo preço por unidade
c) O valor de cada unidade do tijolo T3 é R$1,50
d) A matriz formada pelos valores de cada unidade dos três tipos de tijolos é de ordem 1x3
e) O valor de cada unidade do tijolo T2 é R$1​

Answer 1

Vamos começar determinando as equações para o valor pago em cada pedido (clientes 1,2 e 3).

O valor pago, em cada pedido, é dado pelo produto entre o "preço de T1" e o "numero de unidades de T1" somado ao produto entre o "preço de T2" e o "numero de unidades de T2" e ao produto entre o "preço de T3" e o "numero de unidades de T3"

   $\left(^{Un.~de}_{~~~T_1}\right)\cdot\left(^{Preco~da}_{~~un.~T_1}\right)+\left(^{Un.~de}_{~~~T_2}\right)\cdot\left(^{Preco~da}_{~~un.~T_2}\right)+\left(^{Un.~de}_{~~~T_3}\right)\cdot\left(^{Preco~da}_{~~un.~T_3}\right)~=~^{\,Valor}_{Pedido}$

Chamando de T1, T2 e T3 os preços unitários dos tijolos 1, 2 e 3, respectivamente, teremos as seguintes equações:

$\underline{Cliente~1}:\\\\\boxed{5000\cdot T_1~+~2000\cdot T_2~+~3000\cdot T_3~=~16\,000}\\\\\\\underline{Cliente~2}:\\\\\boxed{1000\cdot T_1~+~4500\cdot T_2~+~6000\cdot T_3~=~19\,500}\\\\\\\underline{Cliente~3}:\\\\\boxed{2500\cdot T_1~+~4000\cdot T_2~+~5500\cdot T_3~=~20\,000}$

Assim, teremos o sistema:

$\left\{\begin{array}{c}5000T_1~+~2000T_2~+~3000T_3~=~16\,000\\1000T_1~+~4500T_2~+~6000T_3~=~19\,500\\2500T_1~+~4000T_2~+~5500T_3~=~20\,000\end{array}\right$

Como estamos tratando com equações, podemos simplificar-las para facilitar os cálculos posteriores.

$\left\{\begin{array}{rcrcrcc}5T_1&+&2T_2&+&3T_3&=&16\\2T_1&+&9T_2&+&12T_3&=&39\\5T_1&+&8T_2&+&11T_3&=&40\end{array}\right$

Para resolver o sistema, podemos utilizar qualquer método conhecido, nesta resolução será utilizado o escalonamento.

Vamos começar as operações lineares no sistema para escalona-lo.

$L2\leftarrow 5L2-2L1\\L3\leftarrow L3-L1\\\\\left\{\begin{array}{rcrcrcc}5T_1&+&2T_2&+&3T_3&=&16\\&&41T_2&+&54T_3&=&163\\&&6T_2&+&8T_3&=&24\end{array}\right$

$L3\leftarrow L3\div2\\\\\left\{\begin{array}{rcrcrcc}5T_1&+&2T_2&+&3T_3&=&16\\&&41T_2&+&54T_3&=&163\\&&3T_2&+&4T_3&=&12\end{array}\right\\\\\\\\L3\leftarrow 41L3-3L2\\\\\left\{\begin{array}{rcrcrcc}5T_1&+&2T_2&+&3T_3&=&16\\&&41T_2&+&54T_3&=&163\\&&&&2T_3&=&3\end{array}\right$

Feito o escalonamento, podemos começar a achar o valor das incógnitas, de baixo para cima,

$2T_3~=~3\\\\\boxed{T_2~=~\dfrac{3}{2}~~ou~~1,5}\\\\\\41T_2+54T_3~=~163\\\\41T_2+54\cdot1,5~=~163\\\\41T_2~=~163-81\\\\T_2~=~\dfrac{82}{41}\\\\\boxed{T_2~=~2}\\\\\\5T_1+2T_2+3T_3~=~16\\\\5T_1+2\cdot2+3\cdot1,5~=~16\\\\5T_1~=~16-4-4,5\\\\T_1~=~\dfrac{15}{2\cdot5}\\\\\boxed{T_1~=~1,5}$

Vamos então verificar as assertivas feitas no exercício.

a) Errado, T1 vale R$1,50

b) Errado, T2 tem valor (R$2,00) diferente dos outros dois.

c) Certo

d) Errado, essa matriz pode ser dada na ordem 1x3, mas não necessariamente, pode também ser dada na forma 3x1, por exemplo, dependerá da aplicação.

e) Errado, T2 vale R$2,00

Answer 2

O valor do tijolo T3 é R$ 1,50. ALTERNATIVA C

A seguir vamos utilizar um sistema linear para solucionar:

Dados:

T1 = x

T2 = y

T3 = z

Desenvolvendo o sistema:

Cliente 1 : 5000x + 2000y + 3000z = 16000 (÷ 1000)

Cliente 2: 1000x + 4500y + 6000z = 19000 (÷ 500)

Cliente 3: 2500x + 4000y + 5500z = 20000 (÷ 500)

> >

5x + 2y +3 z = 16  (*-2) =====  -10x - 4y - 6z = -32

2x + 9y + 12z = 39 (*5)  ===== 10x + 45y + 60z = 195

5x + 8y + 11z = 40

>>> Subtraindo a equação do cliente 1  com o cliente 2 obtemos:

(a) 41y + 54z = 163

>>> Multiplicando a equação do cliente 1 * ( -1 )  e subtraindo pela o cliente 3 temos:

-5x - 2y - 3z = -16

5x + 8y + 11z = 40

---------------------------

        6y + 8z = 24 (÷ 2) >>>> (b) 3y + 4z = 12

>>> Comparando a equação (a)* (-3)  com a equação (b) * (41):

    -123y - 162z = -489

+    123y + 164z = 492

---------------------------------

                    2z = 3 .>>>  z = 1,5

>>> Substituindo Z na equação (b) obtemos :

3y + 4*(1,5) = 12  >>>>  3y + 6 = 12  >>>>   y =  2

>>> Substituindo y e z na equação do cliente 1 para descobrir x:

5x + 2*2 +3*1,5 = 16   >>>>  5x = 7,5 >>> x = 1,5

A matriz pode ser de ordem 1 x 3 e 3 x 1

Portando, o tijolo do tipo1 custa 1,5 reais, o tipo 2 custa 2 reais e o tipo 3 custa 1,5 reais.

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