Question

[100^2 + 200^2 + 300^2 + 400^2 + 500^2 ] – [99^2 + 199^2 + 299^2 + 399^2 + 499^2 ]

 

Como fazer essa subtração com um método mais prático? Pois elevar cada número ao quadrado e somar leva tempo.

Answer 1

Vamos lá então...

 

$(100^2+200^2+300^2+400^2+500^2)-(99^2+199^2+299^2+399^2+499^2)$

 

Vamos distribuir o sinal de menos no segundo parênteses:

 

$100^2+200^2+300^2+400^2+500^2-99^2-199^2-299^2-399^2-499^2$

 

Agora, estratégicamente vou trocar de lugar os termos e fazer várias diferenças de quadrados( dominar fatoração e produtos notáveis é fundamental):

 

$100^2-99^2+200^2-199^2+300^2-299^+400^2-399^2+500^2-499^2$

 

Vou fazer as diferenças de quadrados separadamente :  $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

 

$100^2-99^2=(100+99)(100-99)=199.1=199$

 

$200^2-199^2=(200+199)(200-199)=399.1=399$

 

$300^2-299^2=(300+299)(300-299)=599.1=599$

 

$400^2-399^2=(400+399)(400-399)=799.1=799$

 

$500^2-499^2=(500+499)(500-499)=999.1=999$

 

Agora basta somar os elementos, que agora formam uma PA de razão 200 e faremos a soma do 5 primeiros termos.

 

$S_{5}=\frac{(A_{1}+A_{5})5}{2}\\ \\ S_{5}=\frac{(199+999)5}{2}\\ \\ S_{5}=\frac{(1198)5}{2}\\ \\ S_{5}=599.5\\ \\ \large{\boxed{S_{5}=2995}}$

 

Veja se ficou alguma dúvida!!