Question

1 // YURI MENDES MOSTAGI Obtenha a solução da equação diferencial: x"+3x'+6x=0, x(0)=0,x'(0)=3

Answer 1

Queremos resolver a equação diferencial $\mathsf{x"+3x'+6x=0,}$ sendo $\mathsf{x(0)=0}$ e $\mathsf{x'(0)=3.}$

Trata-se de uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Equação auxiliar:

$\mathsf{m^2+3m+6=0}$

Cálculo do discriminante:

$\mathsf{\Delta=3^2-4\cdot 6=9-24=-15}$

Note que $\mathsf{\Delta <0.}$ Dessa forma, a equação em m possui duas raízes complexas conjugadas.

$\mathsf{m=\frac{-3\pm\sqrt{15}\dot{\imath}}{2}=\underbrace{\frac{-3}{2}}_{\alpha}\pm \underbrace{\frac{\sqrt{15}}{2}}_{\beta}\cdot\dot{\imath}}$

Então:

$\mathsf{\alpha=\frac{-3}{2}}$ e $\mathsf{\beta=\frac{\sqrt{15}}{2}}$

Quando $\mathsf{\Delta <0,}$ a solução geral da equação diferencial desse tipo é dada por:

$\mathsf{x=c_1e^{\alpha y}\cos(\beta y)+c_2e^{\alpha y}\sin\left(\beta y\right)}$

Então substituindo os valores de alfa e beta, temos:

$\mathsf{x=c_1e^{\frac{-3}{2}\cdot y}\cos \left( \frac{\sqrt{15}}{2} y\right)+c_{2}e^{\frac{-3}{2} y}\sin\left( \frac{\sqrt{15}}{2} y\right)}$

Como x(0) = 0, temos:

$\mathsf{x(0)=c_1e^{\frac{-3}{2} \cdot 0}\cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot 0\right)+c_{2}e^{\frac{-3}{2} \cdot 0}\sin\left( \dfrac{\sqrt{15}}{2} \cdot 0\right)}$

Temos:

$\mathsf{e^0=1}$

$\mathsf{\cos 0 = 1}$

$\mathsf{\sin 0=0}$

Daí:

$\mathsf{x(0)=c_1e^{\frac{-3}{2} \cdot 0}\cos \left(\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot 0 \right)+c_2e^{\frac{-3}{2} \cdot 0}\sin\left( \dfrac{\sqrt{15}}{2} \cdot 0\right)}\\\fbox{\mathsf{c_1=0}}$

Logo, $\mathsf{c_1=0}$ e a solução fica escrita provisoriamente como:

$\mathsf{x=c_2e^{\frac{-3}{2} \cdot y}\sin\left( \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot y \right)}$

Com a informação x'(0), podemos determinar o valor da constante $\mathsf{c_2}:$

Para isso vamos derivar a função $\mathsf{x=c_2e^{\frac{-3}{2} y}\sin\left( \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot y\right)}.$

$\mathsf{x'=\frac{-3}{2}c_{2}e^{\frac{-3}{2}y}\sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2}y\right)+\frac{\sqrt{15}}{2}c_{2}e^{\frac{-3}{2} \cdot y}\cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2}y \right)}$

Daí:

$\mathsf{x'(0)=\frac{-3}{2}c_{2}e^{\frac{-3}{2}\cdot 0}\sin\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot 0\right)+\frac{\sqrt{15}}{2}c_{2}e^{\frac{-3}{2} \cdot 0 } \cos\left(\frac{\sqrt{15}}{2}\cdot 0\right)}\\\mathsf{\frac{\sqrt{15}}{2}c_{2}=3}\\\mathsf{c_2=\frac{2\sqrt{15}}{5}}$

Portanto, a solução da equação com as condições dadas é:

$\fbox{\fbox{\mathsf{x=\frac{2\sqrt{15}}{5}e^{\frac{-3}{2} \cdot y}\sin\left( \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot y\right)}}}$

Answer 2

Resposta:

X(t) = 6/√15e^-1,5t sin√15/2t

Explicação passo-a-passo:

corrigido no desafio nota máxima!