Question

Considere o polinómio P(x) = X^4 + aX^3 + bX^2 + 8x + 4, onde a e b são números reais. Prove que se o polinómio P(x) é um quadrado perfeito, então a=b-4.

Answer 1

Sendo um quadrado perfeito, teremos.

p(x) = x⁴ + ax³ + bx² + 8x + 4 = (x² + (y + z)x + yz)²

(x² + (y + z)x + yz)² = (x² + xz + yz + xy)²

X⁴ + x³z + x²yz + x³y +x³z + x²z² + xyz² + x²yz² + x²yz + xyz² + y²z² + xy²z + x³y + x²yz + xy²z + x²y².

Agrupando os termos agora:

X⁴ = x⁴

x³(2z + 2y) = x³(a) ⇒ 2z + 2y = a

X²(2yZ) = x²(b) ⇒ 2yz = b

x( 2y²z + 2yz² ) = 8x ⇒ yz(y + z) = 4

y²z² = 4 ⇒ yz = ±2

Se yz = +2

y + z = 2

2yz = b

4 = b

b = 4

2z + 2y = a

a = 8

a = b - 4

Se yz = -2

y + z = -2

2yz

2.(-2) = b

b = -4

2z + 2y = a

a = - 4

a = b

Obs: Segundo exemplo deu errado.