Question

Sabendo que tr(A) = 5, det(A) = 8 e
A = −2 3 0 0
3 x 1 y
−2 1 −5 −4
−3 4 0 0

encontre o valor de x + y

Answer 1

Resposta:

$\sf{\dfrac{72}{5}}$

Explicação passo-a-passo:

• Essa tarefa é sobre matrizes e determinantes.

• O traço de uma matriz A é, por definição, a soma dos elementos da diagonal principal. Usamos o símbolo tr(A) para indicar essa soma.

• O menor complementar Dij é o determinante formado pelos elementos da matriz resultante após eliminarmos a linha i e a coluna j.

• O cofator Cij é, por definição, o número:

        $\boxed{\sf{C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}}}$

        onde Dij é o menor complementar.

• O Teorema de Laplace permite calcularmos determinantes de ordem superior, geralmente de matrizes 4 x 4 ou acima da seguinte forma:

1. Escolha uma linha ou coluna com o maior número de zeros;
2. Calcule os cofatores correspondentes daquela linha ou coluna;
3. Multiplique cada cofator pelo elemento correspondente e some tudo. Em símbolos, podemos escrever da seguinte forma:

        $\boxed{\sf{det(A)=\displaystyle \sum a_{ij}\cdot C_{ij}}}$

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

$\sf{A=}\left[\begin{array}{cccc}\sf{-2}&\sf{3}&\sf{0}&\sf{0}\\\,\,\,\,\sf{3}&\sf{x}&\sf{1}&\sf{y}\\\sf{-2}&\sf{1}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\sf{-3}&\sf{4}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right]$

1. Determine o traço da matriz:

$\sf{tr(A)=-2+x-5+0}\\\\\sf{5=-2+x-5+0}\\\\\sf{x=5+7}\\\\\therefore \boxed{\sf{x=12}}$

2. Vou escolher a primeira linha da matriz A pois tem o maior número de zeros. Isso vai facilitar os cálculos depois. O Teorema de Laplace diz que:

$\sf{det(A)=}\left|\begin{array}{cccc}\sf{-2}&\sf{3}&\sf{0}&\sf{0}\\\,\,\,\,\sf{3}&\sf{x}&\sf{1}&\sf{y}\\\sf{-2}&\sf{1}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\sf{-3}&\sf{4}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right|$

$\sf{det(A)=a_{11}\cdot C_{11}+a_{12}\cdot C_{12}+a_{13}\cdot C_{13}+a_{14}\cdot C_{14}}$

$\sf{det(A)=(-2)\cdot C_{11}+3\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}+0\cdot C_{14}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf{det(A)=-2\cdot C_{11}+3\cdot C_{12}}}\qquad\sf{(1)}$

3. Cálculo dos cofatores:

I)

$\sf{C_{11}=(-1)^{1+1}\cdot D_{11}=D_{11}}$

$\sf{D_{11}=\left|\begin{array}{ccc}\sf{x}&\sf{1}&\sf{y}\\\sf{1}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\sf{4}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\sf{x}&\sf{1}&\sf{y}\\\sf{1}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\sf{4}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right|\begin{array}{cc}\sf{x}&\sf{1}\\\sf{1}&\!\!\!\!\sf{-5}\\\sf{4}&\sf{0}\end{array}$

$\sf{D_{11}=20y-16}$

$\therefore \boxed{\sf{C_{11}=20y-16}}\qquad\sf{(2)}$

II)

$\sf{C_{12}=(-1)^{1+2}\cdot D_{12}=-D_{12}}$

$\sf{D_{12}=\left|\begin{array}{ccc}\sf{3}&\sf{1}&\sf{y}\\\sf{-2}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\sf{-3}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\sf{3}&\sf{1}&\sf{y}\\\!\!\!\!\sf{-2}&\!\!\!\!\sf{-5}&\!\!\!\!\!\sf{-4}\\\!\!\!\!\sf{-3}&\sf{0}&\sf{0}\end{array}\right|\begin{array}{cc}\sf{3}&\sf{1}\\\!\!\!\!\sf{-2}&\!\!\!\!\sf{-5}\\\!\!\!\!\sf{-3}&\sf{0}\end{array}$

$\sf{D_{12}=12-15y}$

$\therefore \boxed{\sf{C_{12}=15y-12}}\qquad\sf{(3)}$

4. Agora substitua (2) e (3) na equação (1):

$\sf{det(A)=-2\cdot C_{11}+3\cdot C_{12}}\\\\\sf{8=-2\cdot(20y-16)+3\cdot(15y-12)}\\\\\sf{8=-40y+32+45y-36}\\\\\sf{8=5y-4}\\\\\sf{5y=12}\\\\\therefore \boxed{\sf{y=\dfrac{12}{5}}}$

5. Concluindo, podemos obter a soma procurada:

$\sf{x+y=12+\dfrac{12}{5}=\dfrac{60}{5}+\dfrac{12}{5}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf{x+y=\dfrac{72}{5}}}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

Matrizes - lei de formação

https://brainly.com.br/tarefa/30096450

Bons estudos! :))

Equipe Brainly