Question

faça que $\frac{3^{4}.2^{3} }{3^{7}.2^{2} } -^{1} =\frac{3^{3} }{2}$

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Temos que:

$\red{\boxed{\left(\begin{array}{c} \frac{3^{4}.2^{3} }{3^{7}.2^{2}} { } \end{array} \right) {}^{ - 1} = \frac{3 {}^{3} }{2} }}$

Para demonstrar esse valor que se encontra no outro lado da igualdade, vamos esquecer ele por um momento, pois vamos focar no primeiro membro, onde teremos que provar o valor do segundo.

Primeiro passo:

Divisão de potência de mesma base. Você deve lembrar da Tia Beth falando que quando temos uma divisão de potências de mesma base devemos preservar a base e subtrair os expoentes, aplicando os ensinamentos da tia Beth:

$\boxed{\frac{a {}^{m} }{a {}^{n} } = a {}^{m - n}} \\ \\ \left(\begin{array}{c} \frac{3^{4}.2^{3} }{3^{7}.2^{2}} { } \end{array} \right) {}^{ - 1} = \left(\begin{array}{c} \frac{3 {}^{4} .2 {}^{3} }{3 {}^{7} .2 {}^{2} } \end{array} \right) {}^{ - 1} = \left(\begin{array}{c}3 {}^{(4 - 7)} .2 {}^{(3 - 2)} \end{array} \right) {}^{ - 1} = \left(\begin{array}{c} 3 {}^{ - 3} .2 {}^{1} \end{array} \right) {}^{ - 1}$

Segundo passo:

Aplicar a propriedade da potência da potência, onde apenas multiplicamos os expoentes:

$\boxed{(a {}^{m} ) {}^{n} = a {}^{m . \: n} } \\ \\ (3 {}^{ - 3} .2 {}^{1} ) {}^{ - 1} = 3 {}^{ (- 3).( - 1)} .2 {}^{1.( - 1)} = \boxed{ 3 {}^{3} .2 {}^{ - 1} }$

Terceiro passo:

Resolver a potência que possui um expoente negativo, onde podemos aplicar outra propriedade de potência:

$\boxed{a {}^{-n } = \frac{1}{a {}^{n}}} \\ \\ 3 {}^{3} .2 {}^{ - 1} = 3 {}^{3} . \frac{1}{2} = \boxed{ \frac{3 {}^{3} }{2} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️