Question

Dada a função f(x)=x² -5x+6, determine as raízes da função por soma e produto.

Answer 1

Resposta:

x' = 2 e x" = 3

Explicação passo-a-passo:

Raiz da função

Lembre que a raiz de uma função é um valor de x tal que f(x) = 0.

Função do segundo grau

Segue o modelo:

• f(x) = ax² + bx + c

Onde: a, b e c são coeficientes. Note que a ≠ 0 é uma condição para a existência de uma função do primeiro grau.

Relações de Girard

Sendo x' e x" as raízes de uma função de segundo grau, podemos calcular:

Soma

x' + x" = -b/a

Produto

x' × x" = c/a

Note que a, b e c são os coeficientes das funções de segundo grau.

Problema

Temos a função:

• f(x) = x² - 5x + 6

Nossos coeficientes são:

a = 1

b = -5

c = 6

Soma

x' + x" = -b/a

x' + x" = - (-5)/1

• x' + x" = 5

Produto

x' × x" = c/a

x' × x" = 6/1

x' × x" = 6

Encontrar as raízes

Podemos simplesmente pensar:

Que números somamos dão 5 e multiplicados dão 6?

Logo, percebemos que x' = 2 e x" = 3

E isso é verdade, afinal:

x' + x" = 5

2 + 3 = 5

5 = 5

x' × x" = 6

2 × 3 = 6

6 = 6

Portanto, nossa resposta está correta.

como chegar nisso fazendo contas

Caso queira, podemos testar. Já aviso que cairemos em outra equação do segundo grau...

x' = 6/x"

Substituindo na equação da soma:

6/x" + x" = 5

multiplicando todo mundo por x":

6 + x"² - 5x" = 0

Organizando:

x"² -5x" + 6 = 0

∆ = 25 - 4 × 1 × 6

∆ = 25 - 24

∆ = 1

x" = (-b ± 1) / 2

x" = (5±1)/2

x"1 = 6/2 = 3

x"2 = 4/2 = 2

Aí a gente escolhe um valor para x" e deixa o outro valor para x'. Mas poderíamos só raciocinar, sem precisar dessa conta.