Question

Dê o conjunto imagem da função y= 2-3sen (x/2)

Answer 1

Para qualquer ângulo $\alpha$, tem-se sempre que

$-1\leq \mathrm{sen\,}\alpha \leq 1$


Então, para $\alpha=\dfrac{x}{2}$, também é verdade que

$-1\leq \mathrm{sen}\left(\dfrac{x}{2} \right )\leq 1$


Multiplicando a desigualdade dupla acima por $-3$, temos

$3\geq -3\mathrm{\,sen}\left(\dfrac{x}{2} \right )\geq -3\\ \\ -3\leq -3\mathrm{\,sen}\left(\dfrac{x}{2} \right ) \leq 3$


Adicionando $2$ à dupla desigualdade acima, temos

$2-3\leq 2-3\mathrm{\,sen}\left(\dfrac{x}{2} \right ) \leq 2+3\\ \\ -1\leq 2-3\mathrm{\,sen}\left(\dfrac{x}{2} \right ) \leq 5\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} -1\leq y \leq 5 \end{array} }$


Logo, o conjunto imagem da função é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,-1\leq y \leq 5\right. \right \}$


ou utilizando a notação de intervalos, o conjunto imagem é o intervalo $\left[-1,\,5 \right ]$.