Question

RESOLVA AS SEGUINTES INEQUAÇÕES EM IR

$a) \frac{ x^{2} - 4 }{ x^{2} +4x-5} \leq 0 b) ( -x^{2} +3x-2)(- x^{2} -4x-3) \leq 0$

Answer 1

=> Questão - a)

(x² - 4)/(x² + 4x - 5) ≤ 0

..note que a inequação vai ser  "≤ 0" quando o sinal:
 
...do numerador for negativo e o denominador positivo 

...do denominador for negativo e o numerador positivo

Recordando a resolução anterior, veja que:

X² - 4 --> tem duas raízes (-2 e +2) como a >0 a concavidade está virada para cima ..logo é positiva FORA do intervalo das raízes e negativa DENTRO do intervalo das raízes

x² + 4x - 5 --> tem duas raízes (- 5 e +1) como a >0 a concavidade está virada para cima ..logo é positiva FORA do intervalo das raízes e negativa DENTRO do intervalo das raízes.

Agora a inequação será "≤ 0" quando os sinais do numerador e denominador forem diferentes.

Vou tentar fazer um "esboço" para tentar explicar:

X² - 4 ---------> ++++++++++++(-2)- - - - - - - - - - -(2)+++++++++++++
x² + 4x - 5 --> ++++(-5) - - -- - -- -- - - - - - - (1)+++++++++++++++++
                                ↑                                  ↑
(X²-4)/(x²+4x-5)--> + (∞)- - - - - - (0)++++++(∞)- - -(0) +++++++++++

A inequação vai ser positiva para valores de (x):

..inferiores a -5 (não incluído pois no ponto -5 a inequação é indeterminada - ZERO no denominador)
..entre -2 (incluído) e "1" (não incluído - zero do denominador - indeterminada)
...para valores de x > 2 
 
Vai ser NEGATIVA ( < 0 ) para valores de x:

 ..entre -5 (não incluído - zero do denominador) e -2
...entre +1 (não incluído - zero do denominador) e +2

Assim a solução será:

S = )-5 , -2) Û )1, 2)



=> Questão - b)

(- x² + 3x - 2)(- x - 4x - 3) ≤ 0
 
a inequação será ≤ 0 quando o sinal dos seus termos for diferente (..note que é uma multiplicação)

Assim:

(- x² + 3x - 2) --> Tem 2 raízes (1 e 2) --> como a<0 ..vai ser positiva DENTRO do intervalo da raízes ..e negativa DENTRO do intervalo das raízes

(- x - 4x - 3) --> Tem 2 raízes (-1 e -3) --> como a<0 ..vai ser positiva DENTRO do intervalo da raízes ..e negativa DENTRO do intervalo das raízes
 
assim o "esboço" será:

(- x² + 3x - 2) --> - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - (1)+++++++(2)- - - - - - - - -

(- x - 4x - 3) ----> - - - - - - - - - - -- -(-3)++++++++(-1) - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 

(-x²+3x-2)(-x-4x-3)--> +++++++++(0)- - - - - - - - - (0)++++++++(0)- - - - -- - - (0)+++++++++

assim a solução será:

S = (-3, -1) Û (1, 2) 

Espero ter ajudado