Question

O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo binômio (x+1) é igual a 3. Dado que P(0)=6 e P(1)=5, o valor de P(3) é

Answer 1

Resposta:

$P(3) = -9$

Explicação passo-a-passo:

Bem primeiro você tem que lembrar que um polinômio de segundo grau tem essa característica:

$P(x) = a x^{2} +b x + c$

Nesse exercício ele te da 2 pontos que pertencem a essa função, alem do resto da divisão de um polinômio. Neste caso você terá que jogar esses valores dentro da função padrão de segundo grau e achar os valores de a, b e c, assim:

$P(x) = a.x^{2} + b.x + c\\P(0) = a.0^{2} + b.0 + c\\6 = 0 + 0 + c\\c = 6$

Agora que encontramos c temos que achar a e b. Existe um teorema que diz que o resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b é igual ao valor numérico desse polinômio, onde o valor de x do binômio vale $x = - \frac{b}{a}$ , assim: $P(- \frac{b}{a} ) = resto$

Como ele fala que o resto da divisão do polinômio por x+1 deu 3, seguindo o teorema teremos:

x + 1 = 0

x = -1

P(-1) = 3

Assim basta jogar os valores que temos de P(-1),  P(1) e c para acharmos a e b.

P(-1):

$P(x) = a.x^{2} + b.x + c\\P(-1) = a.(-1)^{2} + b . (-1) + 6\\3 = a - b + 6\\a - b = - 3$

P(1):

$P(x) = a.x^{2} + b.x + c\\P(1) = a.(1)^{2} + b . (1) + 6\\5 = a + b + 6\\a + b = - 1$

Agora basta resolver o sistema, usarei o método de soma:

$a - b = - 3\\a + b = -1\\-----\\2.a = -4\\a = - 2$

Substituindo a em qualquer uma das equações você achará o b, sendo assim:

$a - b = -3\\-2 - b = -3\\b = 3 - 2\\b = 1$

Logo a função é $P(x) = -2 x^{2} + x + 6$ , como ele quer saber o valor de P(3), basta jogar o x na função para achar o valor, assim:

$P(x) = -2.x^{2} + x + 6\\P(3) = - 2.3^{2} + 3 + 6\\P(3) = -18 + 3 + 6 \\ P(3) = -9$

Answer 2

O valor de P(3) para esse polinômio do segundo grau é -9.

Divisão de polinômios

Pelo teorema de D'Alembert, podemos dizer que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) será dada por P(a).

Se P(0) = 6 e P(1) = 5, sabemos que a divisão desse polinômio por (x - 0) tem resto 6 e por (x - 1) tem resto 5, assim como a divisão por (x + 1) tem resto 3, logo:

P(-1) = 3

Seja P(x) dado na forma ax² + bx + c, teremos:

P(0) = a·0² + b·0 + c = 6

c = 6

P(1) = a·1² + b·1 + 6 = 5

a + b = -1

P(-1) = a·(-1)² + b·(-1) + 6 = 3

a - b = -3

Somando as equações:

2a = -4

a = -2

b = 1

Logo, esse polinômio é:

P(x) = -2x² + x + 6

O valor de P(3) é:

P(3) = -2·3² + 3 + 6

P(3) = -18 + 9

P(3) = -9

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