Question

Alguém pode me ajudar?? Agradeço.
Considere as retas r: 2x + 3y = 5, s: −6y − 4x =
−10,t: 12x + 18y = −30 e u: −6x + 4y + 10 = 0 e
A) Decida quais são as relações de posição entre r e s,
s e t e entre t e u.
B) Determine a equação geral da reta paralela com r e
que passa por (3,0).
C) Determine uma equação que represente a reta
perpendicular com u e que passa por (1,1).
D) Determine a distância de A = (4,8) à reta s.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

A) As retas r e s são coincidentes visto que possuem as mesmas equações. Basta multiplicar a reta r por -2 para comprovar.

As retas t e u são perpendiculares, uma vez que a partir de suas equações reduzidas, seus coeficientes angulares apresentam a relação de perpendicularismo entre si, isso é:

$t: 12x+18y=-30$

$t: 18y = -12x-30$

$t: y = \frac{-12x-30}{18}$

$t: y = \frac{-12x}{18} -\frac{30}{18}$

$t: y = \frac{-2x}{3} -\frac{10}{3}$

$u: -6x+4y+10=0$

$u: 4y = 6x-10$

$u: y = \frac{6x-10}{4}$

$u: \frac{6x}{4} -\frac{10}{4}$

$u: \frac{3x}{2} -\frac{5}{2}$

Coeficiente angular da reta t:

$m_{t} = \frac{-2}{3}$

Coeficiente angular da reta u:

$m_{u} = \frac{3}{2}$

$m_{t}.m_{u}=-1$

$\frac{-2}{3}.\frac{3}{2} = -1$, Logo são perpendiculares.

B) Chamaremos essa reta paralela a r e que passa por (3, 0) de "p", dessa forma, para que r e p sejam paralelas é necessário que seus coeficientes angulares sejam iguais, assim:

$r: 2x+3y=5$

$r: 3y = -2x+5$

$r: y = \frac{-2x}{3}+\frac{5}{3}$ (Equação reduzida da reta r)

Coeficiente angular da reta r:

$m_{r}= \frac{-2}{3}$

Com isso, a reta p também terá o mesmo coeficiente angular:

$m_{p}=m_{r}=\frac{-2}{3}$

Escrevendo a equação reduzida da reta p, teremos:

$p: y = \frac{-2x}{3} + b$

Agora substitui o ponto (3, 0) na equação de p para encontrar o termo independente (b):

$0 = \frac{-2}{3}.3 +b$

$b=2$

Logo a equação geral da reta p será:

$p:y=\frac{-2x}{3}+2$

$p: y=\frac{-2x+6}{3}$

$p:3y=-2x+6$

$p:2x+3y-6=0$

C) Chamaremos essa reta perpendicular a u e que passa por (1, 1) de "q", dessa forma, para que u e q sejam perpendiculares é necessário que a multiplicação de seus coeficientes angulares seja igual a -1, assim:

Do exercício A) já temos o coeficiente angular da reta u:

$m_{u}= \frac{3}{2}$

Logo o coeficiente angular da reta q será:

$m_{u}.m_{q}=-1$

$\frac{3}{2}.m_{q}=-1$

$m_{q}= \frac{-2}{3}$

Escrevendo a equação reduzida da reta q, teremos:

$q:y=\frac{-2x}{3}+b$

Agora substitui o ponto (1, 1) na equação de q para encontrar o termo independente (b):

$1=\frac{-2}{3}.1 +b$

$b=1+\frac{2}{3}$

$b=\frac{5}{3}$

Logo a equação reduzida da reta q será:

$q: y=\frac{-2x}{3}+\frac{5}{3}$