Question

Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante,com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y= - 4x + 5
a) Resolva .
b) Em forma discursiva .

Answer 1

Imagine a base do retângulo no eixo x, um de seus lados no eixo y e um vértice na reta $\mathsf{r:y=-4x+5}$ (tudo isso no primeiro quadrante).

Note que a ordenada do vértice que está na reta r determina a altura do retângulo. 

Como tal ordenada varia de forma igual a imagem da função $\mathsf{f(x)=-4x+5}$ que representa a reta r que contém o vértice, podemos determinar a altura do retângulo por f(x). 

Chamando a base do retângulo de x e sua altura de y temos:

$\mathsf{A=x\cdot y}$

Se f(x) = y, então:

$\mathsf{A=x\cdot(-4x+5)}\\\\\mathsf{A=-4x^2+5x}$

A área do retângulo ficou definida por uma equação quadrática, onde x representa a base do retângulo. 

Como o coeficiente a é negativo a parábola representativa da função quadrática apresenta concavidade voltada para baixo e seu vértice (vértice da parábola) irá representar o ponto máximo da função.

As coordenadas do vértice de uma parábola representativa de uma função quadrática são determinadas por:

$\mathsf{X_v=\dfrac{-b}{~2a}}\\\\\mathsf{e}\\\\\mathsf{Y_v=\dfrac{-\Delta}{~~4a},~~sendo~\Delta=b^2-4ac}$

Substituindo as informações:

$\mathsf{X_v= \dfrac{-5}{2\cdot(-4)}}\\\\\\\mathsf{X_v=\dfrac{-5}{-8}}\\\\\\\mathsf{X_v=\dfrac{5}{8}}\\\\\\\mathsf{Y_v=\dfrac{-[5^2-4\cdot(-4)\cdot0]}{4\cdot(-4)}}}\\\\\\\mathsf{Y_v=\dfrac{-[25-0]}{-16}}\\\\\\\mathsf{Y_v=\dfrac{-25}{-16}}\\\\\\\mathsf{Y_v=\dfrac{25}{16}}$

Coordenadas: 

$\mathsf{V(\frac{5}{8};~\frac{25}{16})}$

Quando a base do retângulo é de $\mathsf{\frac{5}{8}~u.m}$ o retângulo atinge sua área máxima que é de $\mathsf{\frac{25}{16}~(u.m)^2}$.

Para descobrir qual é a altura, basta voltar a equação de área, aqui usarei as notações convencionais (altura = H, base = b)

$\mathsf{A=b\cdot H}\\\\\mathsf{\frac{25}{16}=\frac{5}{8}\cdot H}\\\\\mathsf{H=\dfrac{\frac{25}{16}}{\frac{5}{8}}}\\\\\\\mathsf{H=\frac{25}{16}\cdot\frac{8}{5}}\\\\\mathsf{H=\frac{200}{80}}\\\\\mathsf{H=\frac{5}{2}~u.m}$

Portanto o retângulo tem as seguintes medidas:

$\mathsf{Base = \frac{5}{8}~u.m}\\\\\mathsf{Altura=\frac{5}{2}~u.m}\\\\\mathsf{\'Area=\frac{25}{16}~(u.m)^2}$