Question

(UNICAMP-2014) - Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a1,a2,a3,a4...) é uma progressãoharmônica se a sequência dos inversos (1/a1,1/a2,1/a3,1/a4...) é uma progressão aritmética (PA).

a) Dada a progressão harmônica (2/5 , 4/9, 1/2 ...) , encontre o seu sexto termo.

b) b) Sejam a,b e c termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que b = 2ac / (a+c)

Answer 1

a)

Se essa progressão é harmônica, os inversos dos seus termos formam uma P.A

$P.A([2/5]^{-1},[4/9]^{-1},[1/2]^{-1},...)$
$P.A([5/2], [9/4],2,...)$

$a_{1}=5/2$
$a_{2}=9/4$

$r=a_{2}-a_{1}=(9/4)-(5/2)=(9/4)-(10/4)=(9-10)/4=-1/4$

$a_{6}=a_{1}+5r$
$a_{6}=(5/2)+5*(-1/4)$
$a_{6}=(10/4)-(5/4)$
$a_{6}=(10-5)/4$
$a_{6}=5/4$

Esse é o sexto termo da P.A, ele quer o sexto termo da progressão harmônica, que é o inverso desse termo

$(a_{6})^{-1}=(5/4)^{-1}$
$\boxed{\boxed{(a_{6})^{-1}=4/5}}$

b)

Se a, b e c são termos consecutivos de uma progressão harmônica, seus inversos formam uma progressão aritmética

$P.A([1/a],[1/b],[1/c])$

$r = a_{2}-a_{1}=(1/b)-(1/a)$
$r=a_{3}-a_{2}=(1/c)-(1/b)$

$r=r \\ (1/b)-(1/a)=(1/c)-(1/b)$
$(1/b)+(1/b)=(1/c)+(1/a)$
$2/b=(a+c)/ac$

Temos que isolar b. Multiplicando em cruz:

$2*ac = b*(a + c)$
$\boxed{\boxed{2ac / (a + c) = b}}$

Answer 2

Nas duas questões lembramos que a Progressão Harmônica(PH) é inversa da Progressão Aritmética (PA).

a) Se acharmos o sexto termo da PA basta inverter para achar o sexto termo da PH.

   PH (2/5, 4/9,1/2,...)

   PA (5/2, 9/4, 2,...)

   razão (r) = 9/4 - 5/2 ∴ r = -1/4

   Fórmula do Termo Geral da PA:

   an = a1 + (n-1)r

   a6 = 5/2 + (6-1)-1/4

   a6 = 5/2 + 5. (-1/4)

   a6 = 5/2 - 1/4

   a6 = 5/4 ⇒ sexto termo da PA

  a6 = 4/5 ⇒ sexto termo da PH

b) PH (a,b,c)

   PA (1/a, 1/b, 1/c)

  Para achar a razão:

   r= $\frac{1}{b} - \frac{1}{a}$ ou r = $\frac{1}{c} - \frac{1}{b}$

   Então, r = r

   $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$

   $\frac{1}{b} + \frac{1}{b}= \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$

   $\frac{2}{b} = \frac{1}{c}+\frac{1}{a}$

    MMC = abc

    $\frac{2ac}{abc}= \frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}$

     Ignorando os denominadores depois de igualados:

     2ac = ab + bc

     2ac = b (a+c)

     b (a +c) = 2ac

     b = $\frac{2ac}{a+c}$