Question

Atividade de calculo diferencial e integral                                                                               Esboçar o gráfico das funções, determinando: máximo, mínimo, crescimento, decrescimento, pontos onde cortam os eixos, concavidade, ponto de inflexão  e assíntotas:                               y=x^2/x-3

Answer 1

Olá Fabiana!

Primeiro calcula-se as derivadas de 1ª e 2ª ordem de $f(x)$.

$f'(x)=\frac{2x}{x-3}-\frac{x^2}{(x-3)^2}$

$f''(x)=\frac{2}{x-3}-\frac{4x}{(x-3)^2}+\frac{2x^2}{(x-3)^3}$

Para encontrar os valores de máximo e/ou mínimo faz-se:

$f'(x)=0$
$S=\left\lbrace0;6\right\rbrace$

Avaliamos a derivada de 2ª ordem no valores de $S$.

$f''(0)=-\frac{2}{3}<0$, logo $x = 0$ é ponto de máximo local.

$f''(6)=\frac{2}{3}>0$, logo $x=6$ é ponto de mínimo local.

Assim, os intervalos de crescimento é $\left]-\infty;-\frac{2}{3}\right[$ e $\left]\frac{2}{3};+\infty\right[$. Já o intervalo de decrescimento é $\left]-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right[$.

As intersecções com os eixos vêm fazendo-se:

$f(x)=0$
$x=0$

e

$f(0) = 0$
 
Logo, o único ponto de intersecção com os eixos é a origem $(0;0)$ do sistema cartesiano.

E porque:

$f''(x)=0$
$x=3$

temos que o ponto de inflexão é $x=3$. Assim, a concavidade é voltada para baixo no intervalo $\left]-\infty;3[$, e a concavidade voltada para cima $\left]3;+\infty[$. 

Não existe assintota horizontal, pois:

$\lim_{n \to +\infty} f(x)=+\infty$
$\lim_{n \to -\infty} f(x)=-\infty$

A assintota vertical é dada por:

$f(x)=0$
$x=3$

E a assíntota oblíqua é dada por $m_1x+b_1$:

$m_1= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)}{x}=1$

e

$b_1= \lim_{n \to \infty} f(x)-x=3$

Assim, $m_1x+b_1 = x+3$ é um assíntota oblíqua.

Abraço,

Douglas Joziel.