Question

Calculo diferencial e integral
Uma rede de água potável deve ligar uma caixa de abastecimento situada á margem de um rio de 500 m de largura a um conjunto BNH situado na outra margem do rio, 2000m abaixo da caixa. O custo da obra através do rio é de R$ 640,00 por metro e  na terra  é de R$ 312,00 por metro. Qual a forma mais econômica( menos custo) de se instalar a rede de água potável?

Answer 1

Olá, Fabiana!

Obrigatoriamente o caminho terá que cortar o rio, assim, temos que achar o percurso que dê um equilíbrio - rio e terra - para tornar mais em conta, isto é, menor custo. O custo $C$ pode ser calculado por:

$C=640\cdot\sqrt{x^2+500^2}+312\cdot(2000-x)$
$C=640\cdot\sqrt{x^2+250000} - 312x + 624000$   (1)

Em tempo, o parâmetro $x$ está descrito na figura em anexo, para uma melhor compreensão, visto que explicá-lo aqui é difícil.

Derivando (1) em relação a $x$, obtemos:

$C'=\frac{640x}{\sqrt{x^2+250000}}-312$   (2)

De (2), fazemos a expressão igual a zero para encontrar o ponto de mínimo relativo:

$\frac{640x}{\sqrt{x^2+250000}}-312=0$
$x=\frac{19500}{4879}\sqrt{4879}=279,1702929$   (3)

Substituindo (3) em (1), vem o custo mínimo:

$C=903399,35$

Sendo que será feito 1720,83 metros por terra e 572,64 metros por água (rio).

Abraço,

Douglas Joziel.