Question

os valores reais de X do sistema 1<|x-1|<2 são?

Answer 1

Você tem duas inequações  modulares:
|x - 1| > 1         e         |x - 1| < 2

Vamos resolver   |x - 1| > 1 (para que o módulo seja maior que 1, o que está entre as barras deve ser um número menor que -1, ou seja,     x - 1 < -1      OU
o que está entre as barras deve ser um número maior que 1, ou seja, 
x - 1 > 1  ):

Temos, então, duas inequações do 1º grau. Vamos resolvê-las:

x - 1 < -1 ⇒ x < -1 + 1 ⇒ x < 0

x - 1 > 1 ⇒ x > 1 + 1 ⇒ x > 2

Fazendo a UNIÃO destes dois intervalos obtemos     x < 0 ou x > 2
(esta é a solução da 1ª inequação modular)

Agora vamos resolver   |x - 1| < 2 ( para que o módulo seja menor que 2, o que está entre as barras deve ser um número entre -2 e 2, ou seja,
-2 < x - 1 < 2  ): 

Temos aqui duas inequações do 1º grau, mas, podemos resolver as duas ao mesmo tempo. Veja:

-2 < x - 1 < 2 ⇒ -2 + 1 < x < 2 + 1 ⇒ -1 < x < 3   (esta é a solução da 2ª inequação modular)

Vamos, agora, fazer a intersecção das soluções das duas inequações modulares:

Faça uma reta e represente a solução da 1ª (coloque uma bolinha para representar o 0 e, mais à direita, outra bolinha para representar o 2; pinte, na reta, antes do 0 e depois do 2).

Faça outra reta abaixo da 1ª e represente a solução da 2ª (embora na reta de baixo, respeite os números que já estão na reta de cima, colocando o -1 antes do 0 e o 3 depois do 2 - na reta de baixo; pinte, nessa reta, o intervalo entre -1 e 3). 

Faça uma terceira reta, na qual você vai representar a intersecção. Lembre que, para estar na intersecção tem que estar nos dois conjuntos, nos dois intervalos. Então, coloque, nessa última reta, bolinhas referentes aos números -1, 0, 2 e 3, na mesma direção desses números das retas anteriores. Os trechos pintados nas duas primeiras retas, isto é, as partes que estão pintadas na 1ª reta    E
na 2ª também, devem ser pintados na última reta, ou seja, você vai pintar o intervalo entre -1 e 0 e o intervalo entre 2 e 3.

Agora é só escrever o conjunto solução, que é a leitura do que você pintou na última reta:

S = { x ∈ R / -1 < x < 0 ou 2 < x < 3 }