Question

(UFMT) Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x³ - x² + kx + t onde k e t pertencem ao conjunto dos números reais. A terceira raiz é:
a) Impossível de ser determinada
b) -1
c) -1/2
d) ½
e) 1

Answer 1

Primeiro vamos reescrever essa expressão:

$\Large\sf 2x {}^{3} - x {}^{2} + kx + t$

A questão nos fornece duas raízes dessa equação que são -2 e 3, devemos lembrar que para um número ser raiz ao substituirmos tal valor no local de "x" o resultado é igual a "0", tendo isso em mente, devemos substituir no local de "x" a primeira raiz e depois a segunda raiz.

• Primeira raiz •

$\sf2x {}^{3} - {x}^{2} + kx + t = 0 \\ \sf 2.( - 2) {}^{3} - ( - 2) {}^{2} + k.( - 2) + t = 0 \\ \sf 2.( - 8) - (4) - 2k + t = 0 \\ \sf - 16 - 4 - 2k + t = 0 \\ \sf - 20 - 2k + t = 0 \\ \boxed{ \sf - 2k + t = 20}$

• Segunda raiz •

$\sf 2x {}^{3} - x {}^{2} + kx + t = 0 \\ \sf 2.(3) {}^{3} - (3) {}^{2} + k.3 + t = 0 \\ \sf 2.27 - 9 + 3k + t = 0 \\ \sf 54 - 9 + 3k + t = 0 \\ \sf 45 + 3k + t = 0 \\ \boxed{ \sf 3k + t = - 45}$

Note que surgiu duas equações com duas incógnitas, ou seja, podemos montar um sistema de equações.

$\begin{cases} \sf - 2k + t = 20 \\ \sf 3k + t = - 45\end{cases}$

É mais conveniente usarmos o método da adição para resolver esse sistema. Para que possamos prosseguir com esse método temos que fazer com que uma das duas incógnitas suma, para isso vou multiplicar a segunda equação por (-1) e vou somá-las:

$\sf - 2k + t = 20 \\ \sf 3k + t = - 45.( - 1) \\ \\ \sf - 2k + t = 20 \\ \sf - 3k - t = 45 \\ \\ \sf - 3k - 2k \cancel{+ t - t} = 20 + 45 \\ \sf - 5k = 65 \\ \sf k = \frac{65}{ - 5} \\ \boxed{\sf k = - 13}$

Obtemos o valor de "k", para achar o valor de "t", basta substituir o valor de k em uma das duas equações.

$\sf 3k + t = - 45 \\ \sf 3.( - 13) + t = - 45 \\ \sf - 39 + t = - 45 \\ \sf t = - 45 + 39 \\ \boxed{ \sf t = - 6}$

Agora vamos substituir esses valores na equação padrão:

$\sf 2x {}^{3} - x {}^{2} + kx + t = 0 \\ \sf 2x {}^{3} - x {}^{2} - 13x - 6 = 0$

Como temos o valor das raízes, podemos usar o método de Briot-ruffini para encontrar a terceira, para isso devemos colocar a raiz do lado esquerdo do Briot-ruffini e do lado direito os coeficientes da equação que possuímos:

Substituindo e calculando:

$\sf 2x {}^{3} - x {}^{2} - 13x - 6 \\ \\ \begin{array}{r|c}3&2& - 1& - 13& - 6 \\ &2&2.3 - 1&(2.3 - 1).3 - 13&((2.3 - 1).3 - 13).3 \\ &2&5 &2&0 \\ \\&2x {}^{2} + 5x + 2 = 0 \end{array}$

Surgiu essa equação do segundo grau, se resolvermos ela vamos descobrir a terceira raiz:

$\sf2x {}^{2} + 5x + 2 = 0 \\ \\ \sf coeficientes : \\ \begin{cases} \sf a = 2 \\ \sf b = 5 \\ \sf c = 2 \end{cases} \\ \\ \sf discriminante : \\ \sf\Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \sf\Delta = (5) {}^{2} - 4.2.2 \\ \sf \Delta = 25 - 16 \\ \sf \Delta = 9 \\ \\ \sf bh \acute{a}skara : \\ \sf x = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ \sf x = \frac{ - 5 \pm \sqrt{9} }{2.2} \\ \\ \sf x = \frac{ - 5 \pm 3}{4} \rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = \frac{ - 5 + 3}{4} \\ \sf x _1 = \frac{ - 2}{4} \\ \sf x_1 = - \frac{1}{2} \\ \\ \sf x_2 = \frac{ - 5 - 3}{4} \\ \sf x_2= \frac{ - 8}{4} \\ \sf x_2 = - 2 \end{cases}$

De acordo com os cálculos, notamos que a resposta certa é a letra c)

Resposta: letra c).

As raízes são: -2, 3 e -1/2

Espero ter ajudado