Question

Dados o ponto P e a circunferência λ, determine a posição de P em relação a λ.

a) P(-1, 2) e λ: (x - 3)² + (y + 1)² = 52
b) P(2, 2) e λ: x² + y² - 10x + 8y - 1 = 0
c) P(3, 1) e λ: x² + y² - 8x - 5 = 0

Answer 1

Vamos fazer pelo método prático, que consiste em substituir os valores da abscissa e o ordenada no local das incógnitas "x" e "y", para que possamos fazer isso, devemos lembrar que:

$\begin{cases} \sf resultado > 0 \rightarrow externo \\ \sf resultado < 0 \rightarrow interno \\ \sf resultado = 0 \rightarrow pertencente \end{cases}$

Sabendo disso, vamos iniciar os cálculos:

Item a)

Temos o seguinte ponto e circunferência:

$\sf \lambda : (x - 3) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} = 52 \\ \sf P(-1, 2) \rightarrow x = - 1 \: \: \: y = 2$

Vamos passar o 52 para o primeiro membro e substituir os valores de x e y:

$\sf (x - 3) {}^{2} + (y + 1) {}^{2} - 52 \\ \sf( - 1 - 3) {}^{2} + (2 + 1) {}^{2} - 52 \\ \sf ( - 4) {}^{2} + (3) {}^{2} - 52 \\ \sf 16 + 9 - 52 \\ \sf 25 - 52 \\ \sf - 27 < 0 \rightarrow interno$

Item b)

$\sf \lambda : x {}^{2} + y {}^{2} - 10x + 8y - 1 = 0 \\ \sf P(2, 2) \rightarrow x = 2 \: \: \: \: y = 2$

Substituindo:

$\sf x {}^{2} + y {}^{2} - 10x + 8y - 1 \\ \sf (2) {}^{2} + (2) {}^{2} - 10.2 + 8.2 - 1 \\ \sf 4 + 4 - 20 + 16 - 1 \\ \sf 8 + 16 - 20 - 1 \\ \sf 24 - 21 \\ \sf 3 > 0 \rightarrow externo$

Item c):

$\sf \lambda : x {}^{2} + y {}^{2} - 8x - 5 = 0 \\ \sf P(3, 1) \rightarrow x = 3 \: \: \: \: y = 1$

Substituindo:

$\sf x {}^{2} + {y}^{2} - 8x - 5 \\ \sf(3) {}^{2} + (1) {}^{2} - 8.3 - 5 \\ \sf 9 + 1 - 21 - 5 \\ \sf 10 - 26 \\ \sf - 16 < 0 \rightarrow interno$

Espero ter ajudado