Question

Sistemas Lineares

Considere o sistema:

2x + y – z = 15

3x -4y + z = 4

1x +5y -2z = 21

1) Resolva o sistema utilizando o método de Cramer

2) Resolva o sistema utilizando o método de Gauss

3) Compare os métodos utilizado por você

Answer 1

$1) Por \ Cramer \\ \left[\begin{array}{ccc}2&1&-1\\3&-4&1\\1&-5&1\end{array}\right] = M \Rightarrow Det(M) = D = -6 \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}15&1&-1\\4&-4&1\\21&5&1\end{array}\right] = Mx \Rightarrow Det(Mx) = -30 \Longleftrightarrow x = \dfrac{-30}{-6} = 5$

$\left[\begin{array}{ccc}2&15&-1\\3&4&1\\1&21&-2\end{array}\right] =My\Rightarrow Det(My) = -12 \Longleftrightarrow y = \dfrac{-12}{-6} = 2$

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&15\\3&-4&4\\1&5&21\end{array}\right] =Mz\Rightarrow Det(Mz) = 18 \Longleftrightarrow z = \dfrac{18}{-6} = -3\\ \\ \\ S = \{5,2,-3\}$

$2) Por \ Gauss \\ \\ \lbrace 2x + y - z = 15 \\ \lbrace 3x - 4y + z = 4 \\ \lbrace1x +5y -2z = 21 \\ \\ \lbrace1x +5y -2z = 21 \ \ L1 \\ \lbrace 2x + y - z = 15 \ \ L2 \\ \lbrace 3x - 4y + z = 4 \ \ L3$

$\lbrace1x +5y -2z = 21 \ \ L1 \\ \lbrace 0 + -9y + 3z = -27 \ \ L4 = L2 -2*L1 \\ \lbrace 0 - 19y + 7z= -59 \ \ L5 = L3-3*L1 \\ \\ \lbrace1x +5y -2z = 21 \ \ L1 \\ \lbrace 0 + 19y - \dfrac{19}{3} z = 57 \ \ L6 = (- \dfrac{19}{9})*L4 \\ \lbrace 0 - 19y + 7z= -59 \ \ L5 = L3-3*L1$

$\lbrace1x +5y -2z = 21 \ \ L1 \\ \lbrace 0 + 19y - \dfrac{19}{3} z = 57 \ \ L6 = (- \dfrac{19}{9})*L4 \\ \lbrace 0 + 0 + \dfrac{2}{3} z= -2 \ \ L7 = L5 + L6 \\ \\ \\ \lbrace1x +5y -2z = 21 \\ \lbrace 0 + 19y - \dfrac{19}{3} z = 57 \\ \lbrace 0 + 0 + \dfrac{2}{3} z= -2 \Rightarrow z = -6/2 \Longleftrightarrow z = -3$

$\ Pela \ linha \ L6 \ temos \\ \\ 19y - \dfrac{19}{3} z=57 \Longleftrightarrow19y - \dfrac{19}{3} (-3) = 57 \Longleftrightarrow y = 2 \\ \\ \\ \ Pela \ linha \ L1 \ temos \\ \\ x + 5(2) -2(-3) = 21 \Longleftrightarrow x + 16 = 21 \Longleftrightarrow x = 5 \\ \\ S = \{5,2,-3\}$

3) O resultado obtido por Cramer e o resultudo por Gauss são os mesmos. Sistema Possível e Determinado cuja solução é {(5,2,-3)}

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Obrigado pela oportunidade 
Boa sorte, bons estudos!
SSRC - ♑ - 2015 
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