Question

Dadas as circunferências c1: x2 + y2 – 6x + 4y + 8 = 0 e c2: x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0, qual a posição relativa entre elas?



( ) tangentes internas

( ) tangentes externas

( ) secantes internas

( ) secantes externas

( ) concêntricas




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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos encontrar o centro e o raio de cada circunferência

$x^2+y^2-6x+4y+8=0$

Completando quadrados:

$(x-3)^2=x^2-6x+9$

$(y+2)^2=y^2+4y+4$

Somando $5$ a ambos os membros:

$x^2-6x+y^2+4y+8+5=5$

$x^2-6x+9+y^2+4y+4=5$

$(x-3)^2+(y+2)^2=(\sqrt{5})^2$

Centro $C_1(3,-2)$ e raio $r_1=\sqrt{5}$

$x^2+y^2-4x+8y+11=0$

Completando quadrados:

$(x-2)^2=x^2-4x+4$

$(y+4)^2=y^2+8y+16$

Somando $9$ a ambos os membros:

$x^2-4x+y^2+8y+11+9=9$

$x^2-4x+4+y^2+8y+16=9$

$(x-2)^2+(y+4)^2=3^2$

Centro $C_2(2,-4)$ e raio $r_2=3$

Temos que:

$\overline{C_1C_2}=\sqrt{(3-2)^2+(-2+4)^2}$

$\overline{C_1C_2}=\sqrt{1^2+2^2}$

$\overline{C_1C_2}=\sqrt{1+4}$

$\overline{C_1C_2}=\sqrt{5}$

E $r_1+r_2=\sqrt{5}+3$

Deste modo, a distância entre os centros das circunferências é menor que a soma dos raios

Logo, essas circunferências são secantes