Question

18 Determine as coordenadas dos focos de cada hipérbole do exercício anterior.

Answer 1

a) Pela figura, as coordenadas dos focos dessa hipérbole são $F_1(-5,0)$ e $F_2(5,0)$

Assim:

$2c=5-(-5)~\longrightarrow~2c=10$ (distância focal)

$c=\dfrac{10}{2}~\longrightarrow~c=3$

Além disso, $A_1(-3,0)$ e $A_2(3,0)$ são os vértices da hipérbole

Temos que:

$2a=3-(-3)~\longrightarrow~2a=6$ (eixo real)

$a=\dfrac{6}{2}~\longrightarrow~a=3$

$c^2=a^2+b^2$

$5^2=3^2+b^2$

$25=9+b^2$

$b^2=25-9$

$b^2=16$

$b=\sqrt{16}$

$b=4$

$2b=8$ (eixo imaginário)

A equação dessa hipérbole é:

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$

$\dfrac{x^2}{3^2}-\dfrac{y^2}{4^2}=1$

$\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$

b) Pela figura, as coordenadas dos focos dessa hipérbole são $F_1(0,4)$ e $F_2(0,-4)$

Assim:

$2c=4-(-4)~\longrightarrow~2c=8$ (distância focal)

$c=\dfrac{8}{2}~\longrightarrow~c=4$

Além disso, $A_1(0,2)$ e $A_2(0,-2)$ são os vértices da hipérbole

Temos que:

$2a=2-(-2)~\longrightarrow~2a=4$ (eixo real)

$a=\dfrac{4}{2}~\longrightarrow~a=2$

$c^2=a^2+b^2$

$4^2=2^2+b^2$

$16=4+b^2$

$b^2=16-4$

$b^2=12$

$b=\sqrt{12}$

$b=2\sqrt{3}$

$2b=4\sqrt{3}$ (eixo imaginário)

A equação dessa hipérbole é:

$\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$

$\dfrac{y^2}{2^2}-\dfrac{x^2}{(2\sqrt{3})^2}=1$

$\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{12}=1$