Question

De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro. *

Answer 1

Assumindo que o ponto A esta na msm elevacao que a base do morro e uma aproximacao horizontal de 50 metros temos o seguinte sistema:

$\tan45=\dfrac{h}{d}\\\\\\\tan60=\dfrac{h}{d-50}$

Sendo d a distancia horizontal original de A pra T e h a altura do morro.

$\dfrac{h}{\tan45}=\dfrac{h}{\tan60}+50\\\\\\\dfrac{h}{\frac{\sqrt2}{2}}=\dfrac{h}{\sqrt3}+50\\\\\\\dfrac{2h}{\sqrt2}=\dfrac{h}{\sqrt3}+50\\\\\\2h\sqrt3=h\sqrt2+50\sqrt6\\\\\\2h\sqrt3-h\sqrt2=50\sqrt6\\\\\\h(2\sqrt3-\sqrt2)=50\sqrt6\\\\\\h=\dfrac{50\sqrt6}{2\sqrt3-\sqrt2}=\dfrac{50\sqrt6(2\sqrt3+\sqrt2)}{12-2}=\dfrac{300\sqrt2+100\sqrt3}{10}=\boxed{30\sqrt2+10\sqrt3}$